Uma partícula de 7,1 microgramas tem uma velocidade de 8,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a velocidade tem uma incerteza de 2 \%. Determine o valor da incerteza mínima na posição desta partícula.

Passo 1

Dados fornecidos:
\text{massa } m = 7{,}1\\ \mu\mathrm{g},
\text{velocidade } v = 8{,}4\\ \mathrm{m/s},
\text{incerteza relativa em } v \;=\; 2\% = 0{,}02.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor da incerteza mínima na posição da partícula (ou seja, \Delta x_{\min}).

Passo 2

Converter a massa para unidades SI (quilograma). Lembre que 1\\ \mu\mathrm{g}=10^{-9}\\ \mathrm{kg}. Logo:
m = 7{,}1\\ \mu\mathrm{g} = 7{,}1\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a incerteza absoluta da velocidade \Delta v a partir da incerteza relativa de 2\%:
\Delta v = 0{,}02\cdot v = 0{,}02\cdot 8{,}4\\ \mathrm{m/s} = 0{,}168\\ \mathrm{m/s}.
(Dica prática: 8{,}4\times 0{,}02 = 8{,}4\times 2\times 10^{-2} = 16{,}8\times 10^{-2}=0{,}168.)

Passo 4

Relacionar a incerteza no momento linear \Delta p com \Delta v. Para uma massa conhecida (tratamos m como exata aqui), o momento é p = m v e a incerteza aproximada é
\Delta p \approx m\,\Delta v.
Calculemos:
\Delta p = (7{,}1\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg})\cdot(0{,}168\\ \mathrm{m/s}) = 1{,}1928\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Expliquei: multipliquei os mantissas 7{,}1\cdot 0{,}168 = 1{,}1928 e somei os expoentes 10^{-9}.

Passo 5

Aplicar o princípio da incerteza de Heisenberg na forma usual que relaciona posição e momento:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \hbar é a constante reduzida de Planck. Para obter a incerteza mínima em posição assumimos a igualdade (caso ideal) e isolamos \Delta x:
\Delta x_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta p}.
Aqui:
  • \Delta x_{\min} tem unidade de metros ( \mathrm{m}),
  • \Delta p está em \mathrm{kg\cdot m/s},
  • \hbar = \dfrac{h}{2\pi} e h é a constante de Planck.

Passo 6

Valor numérico de \hbar. Usamos h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, então
\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Obs.: 1\\ \mathrm{J\cdot s} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}, logo as unidades batem quando dividimos por \Delta p.

Passo 7

Calcular \Delta x_{\min} com os valores numéricos:
\Delta x_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta p} = \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\cdot 1{,}1928\times 10^{-9}}\\ \mathrm{m}.
Primeiro o denominador:
2\cdot 1{,}1928\times 10^{-9} = 2{,}3856\times 10^{-9}.
Agora a divisão (manter pra prova a ideia: divida os mantissas e subtraia expoentes):
\frac{1{,}054571817}{2{,}3856}\approx 0{,}4424,
e para os expoentes -34 -(-9) = -25. Portanto
\Delta x_{\min} \approx 0{,}4424\times 10^{-25}\\ \mathrm{m} = 4{,}424\times 10^{-26}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com dois algarismos significativos (condizente com a incerteza dada em 2\%):
\Delta x_{\min}\approx 4{,}4\times 10^{-26}\\ \mathrm{m}.
Comentário final: esse valor é absurdamente pequeno — muito menor que tamanhos atômicos (ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{m}). Isso mostra que, para partículas macroscópicas e velocidades pequenas, a incerteza quântica de posição é praticamente desprezível.

Resposta

4{,}4\times 10^{-26}\\ \mathrm{m}

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