Quais das seguintes afirmações é verdadeira de acordo com o principio de incerteza? a. É impossível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula ao longo do mesmo eixo com precisão arbitrária. b. É impossível determinar simultaneamente a energia e o
momento de uma partícula com precisão arbitrária. c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento. d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo. e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.
momento de uma partícula com precisão arbitrária. c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento. d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo. e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.
Passo 1
O enunciado pede: escolher quais das afirmações a seguir são verdadeiras de acordo com o princípio de incerteza. As afirmações dadas são:
a. É impossível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula ao longo do mesmo eixo com precisão arbitrária.
b. É impossível determinar simultaneamente a energia e o momento de uma partícula com precisão arbitrária.
c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento.
d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo.
e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.
b. É impossível determinar simultaneamente a energia e o momento de uma partícula com precisão arbitrária.
c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento.
d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo.
e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.
Informações relevantes: o enunciado pede veracidade em relação ao “princípio de incerteza” (sem figura). Vou analisar cada alternativa usando as formulações matemáticas apropriadas do princípio de incerteza e exemplos simples.
Passo 2
Apresentando a forma matemática geral do princípio de incerteza (essa é a ferramenta que vamos usar): para dois observáveis representados por operadores hermíticos
e
, define-se a incerteza (desvio padrão) de
como
e de
como
. A desigualdade de Robertson (forma geral do princípio) é
Aqui:
-
é o desvio padrão de . -
é o valor médio no estado quântico considerado. -
é o comutador entre e .
Esta fórmula diz que a impossibilidade de medir simultaneamente com precisão arbitrária dois observáveis surge quando o comutador entre eles tem valor médio não nulo. Seentão existe uma limitação fundamental do tipo (por exemplo). Se a desigualdade não impõe um limite não nulo — pode existir estado com e simultaneamente (autovetores comuns).
Passo 3
Aplicando ao caso posição e momento unidimensional: os operadores são
e
(posição e momento ao longo do mesmo eixo). O comutador é
Substituindo na desigualdade geral obtemos a forma usual do princípio de Heisenberg:
Aqui
é a constante de Planck reduzida. Interpretação: não é possível fazer
e
simultaneamente arbitrariamente pequenos; existe um limite inferior
. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (b): “É impossível determinar simultaneamente a energia e o momento de uma partícula com precisão arbitrária.”
A energia é representada pelo Hamiltoniano (operador energia). A validade de uma relação de incerteza não depende de palavras soltas, mas do comutador
. Em muitos casos esse comutador pode ser zero. Exemplo simples: partícula livre com
A energia é representada pelo Hamiltoniano
Aqui
comuta com
, logo
Se
então a desigualdade geral dá
, que não impede
e
simultaneamente — existem estados (autoestados de
) que têm valor bem definido de
e, para a partícula livre, também valor bem definido de
(pois
é função de
). Logo não existe uma proibição universal que diga que energia e momento não podem ser determinados simultaneamente com precisão arbitrária. A afirmação (b) é, portanto, falsa (não é uma regra geral do princípio de incerteza).
Passo 5
Analisando (c): “É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento.”
Use novamente o exemplo da partícula livre: se a partícula tem momento bem definido (autostato de
), a energia é
Use novamente o exemplo da partícula livre: se a partícula tem momento bem definido
de forma determinística — ou seja, conhecer exatamente
dá exatamente
no caso livre. Portanto não há impossibilidade geral de determinar a energia com precisão arbitrária quando o momento é dado; em muitos sistemas
é função de
ou comuta com
, e em tais casos conhecer
fixa
. Logo (c) é falsa como afirmação universal.
Passo 6
Analisando (d): “É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo.”
Essa frase mistura precisão espacial com duração do processo de medição. O princípio de incerteza padrão não diz que uma medição espacial precisa requer tempo infinito. A formulação usual relaciona conjugados canônicos (por ex. e
). Existe também a expressão chamada “incerteza energia-tempo”
Essa frase mistura precisão espacial com duração do processo de medição. O princípio de incerteza padrão não diz que uma medição espacial precisa requer tempo infinito. A formulação usual relaciona conjugados canônicos (por ex.
mas isso é qualitativo e
não é um operador de instante de tempo como
é;
costuma representar um intervalo associado à duração de um processo ou à vida média de um estado, não um operador conjugado ao Hamiltoniano da mesma forma rigorosa. Em suma: não há uma regra fundamental que afirme que medir
com precisão arbitrária exige tempo infinito; a limitação fundamental envolve
e
, não diretamente “tempo de medição”. Portanto (d) é falsa como enunciado do princípio de incerteza. (Pode haver limitações práticas experimentais, mas não é uma proibição teórica do princípio de incerteza nessa forma.)
Passo 7
Analisando (e): “É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.”
Vamos verificar o comutador . Para a partícula livre
temos
Vamos verificar o comutador
A desigualdade geral dá então
Isso mostra duas coisas importantes: (i) a restrição entre
e
não é necessariamente um limite universal do tipo
— depende de
; (ii) se
a cota do lado direito é zero, então não há proibição de
e
simultaneamente a partir dessa desigualdade. Em outras palavras, não existe uma relação canônica simples que sempre impeça medir energia e posição com precisão arbitrária; a situação depende do Hamiltoniano e do estado. Portanto (e) é falsa como afirmação universal do princípio de incerteza.
Passo 8
Resumo do raciocínio aplicado a cada alternativa:
- (a) True: corresponde exatamente à desigualdade
. - (b) False: energia e momento podem comutar em certos sistemas (partícula livre), permitindo medidas simultâneas precisas.
- (c) False: para sistemas em que
é função de (ex.: partícula livre) um bem definido determina exatamente. - (d) False: princípio de incerteza não afirma que medir posição com precisão arbitrária requer tempo infinito; confunde tempo de medição com a relação
- . - (e) False: não existe uma proibição universal entre energia e posição — depende do comutador
e do estado; não é um par canônico universal como e .
Resposta
a