Quais das seguintes afirmações é verdadeira de acordo com o principio de incerteza? a. É impossível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula ao longo do mesmo eixo com precisão arbitrária. b. É impossível determinar simultaneamente a energia e o
momento de uma partícula com precisão arbitrária. c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento. d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo. e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.

Passo 1

O enunciado pede: escolher quais das afirmações a seguir são verdadeiras de acordo com o princípio de incerteza. As afirmações dadas são:
a. É impossível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula ao longo do mesmo eixo com precisão arbitrária.
b. É impossível determinar simultaneamente a energia e o momento de uma partícula com precisão arbitrária.
c. É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento.
d. É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo.
e. É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.
Informações relevantes: o enunciado pede veracidade em relação ao “princípio de incerteza” (sem figura). Vou analisar cada alternativa usando as formulações matemáticas apropriadas do princípio de incerteza e exemplos simples.

Passo 2

Apresentando a forma matemática geral do princípio de incerteza (essa é a ferramenta que vamos usar): para dois observáveis representados por operadores hermíticos A e B, define-se a incerteza (desvio padrão) de A como \Delta A e de B como \Delta B. A desigualdade de Robertson (forma geral do princípio) é
\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\left|\langle [A,B]\rangle\right|.
Aqui:
  • \Delta A = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2} é o desvio padrão de A.
  • \langle \cdot \rangle é o valor médio no estado quântico considerado.
  • [A,B]=AB-BA é o comutador entre A e B.
    Esta fórmula diz que a impossibilidade de medir simultaneamente com precisão arbitrária dois observáveis surge quando o comutador entre eles tem valor médio não nulo. Se \langle [A,B]\rangle \neq 0 então existe uma limitação fundamental do tipo \Delta A\,\Delta B \gtrsim \hbar (por exemplo). Se \langle [A,B]\rangle = 0 a desigualdade não impõe um limite não nulo — pode existir estado com \Delta A=0 e \Delta B=0 simultaneamente (autovetores comuns).

Passo 3

Aplicando ao caso posição e momento unidimensional: os operadores são x e p (posição e momento ao longo do mesmo eixo). O comutador é
[x,p] = i\hbar.
Substituindo na desigualdade geral obtemos a forma usual do princípio de Heisenberg:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida. Interpretação: não é possível fazer \Delta x e \Delta p simultaneamente arbitrariamente pequenos; existe um limite inferior \hbar/2. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (b): “É impossível determinar simultaneamente a energia e o momento de uma partícula com precisão arbitrária.”
A energia é representada pelo Hamiltoniano H (operador energia). A validade de uma relação de incerteza não depende de palavras soltas, mas do comutador [H,p]. Em muitos casos esse comutador pode ser zero. Exemplo simples: partícula livre com
H = \frac{p^2}{2m}.
Aqui p comuta com p^2, logo
[H,p] = \left[\frac{p^2}{2m},\,p\right] = 0.
Se [H,p]=0 então a desigualdade geral dá \Delta H\,\Delta p \ge 0, que não impede \Delta H=0 e \Delta p=0 simultaneamente — existem estados (autoestados de p) que têm valor bem definido de p e, para a partícula livre, também valor bem definido de H (pois H é função de p). Logo não existe uma proibição universal que diga que energia e momento não podem ser determinados simultaneamente com precisão arbitrária. A afirmação (b) é, portanto, falsa (não é uma regra geral do princípio de incerteza).

Passo 5

Analisando (c): “É impossível determinar a energia de uma partícula com precisão arbitrária para uma dada quantidade de momento.”
Use novamente o exemplo da partícula livre: se a partícula tem momento bem definido p=p_0 (autostato de p), a energia é
E = \frac{p_0^2}{2m}
de forma determinística — ou seja, conhecer exatamente p dá exatamente E no caso livre. Portanto não há impossibilidade geral de determinar a energia com precisão arbitrária quando o momento é dado; em muitos sistemas H é função de p ou comuta com p, e em tais casos conhecer p fixa E. Logo (c) é falsa como afirmação universal.

Passo 6

Analisando (d): “É impossível medir a posição de uma partícula com precisão arbitrária em uma quantidade finita de tempo.”
Essa frase mistura precisão espacial com duração do processo de medição. O princípio de incerteza padrão não diz que uma medição espacial precisa requer tempo infinito. A formulação usual relaciona conjugados canônicos (por ex. x e p). Existe também a expressão chamada “incerteza energia-tempo”
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
mas isso é qualitativo e \Delta t não é um operador de instante de tempo como x é; \Delta t costuma representar um intervalo associado à duração de um processo ou à vida média de um estado, não um operador conjugado ao Hamiltoniano da mesma forma rigorosa. Em suma: não há uma regra fundamental que afirme que medir x com precisão arbitrária exige tempo infinito; a limitação fundamental envolve x e p, não diretamente “tempo de medição”. Portanto (d) é falsa como enunciado do princípio de incerteza. (Pode haver limitações práticas experimentais, mas não é uma proibição teórica do princípio de incerteza nessa forma.)

Passo 7

Analisando (e): “É impossível medir simultaneamente a energia e a posição de uma partícula com precisão arbitrária.”
Vamos verificar o comutador [x,H]. Para a partícula livre H = p^2/(2m) temos
[x,H] = \left[x,\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{1}{2m}[x,p^2] = \frac{1}{2m}\big([x,p]p + p[x,p]\big) = \frac{1}{2m}\big(i\hbar p + p\,i\hbar\big) = i\hbar\frac{p}{m}.
A desigualdade geral dá então
\Delta x\,\Delta H \ge \frac{1}{2}\left|\big\langle [x,H]\big\rangle\right| = \frac{\hbar}{2m}\left|\langle p\rangle\right|.
Isso mostra duas coisas importantes: (i) a restrição entre x e H não é necessariamente um limite universal do tipo \hbar/2 — depende de \langle p\rangle; (ii) se \langle p\rangle=0 a cota do lado direito é zero, então não há proibição de \Delta x=0 e \Delta H=0 simultaneamente a partir dessa desigualdade. Em outras palavras, não existe uma relação canônica simples que sempre impeça medir energia e posição com precisão arbitrária; a situação depende do Hamiltoniano e do estado. Portanto (e) é falsa como afirmação universal do princípio de incerteza.

Passo 8

Resumo do raciocínio aplicado a cada alternativa:
  • (a) True: corresponde exatamente à desigualdade \Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2.
  • (b) False: energia e momento podem comutar em certos sistemas (partícula livre), permitindo medidas simultâneas precisas.
  • (c) False: para sistemas em que H é função de p (ex.: partícula livre) um p bem definido determina E exatamente.
  • (d) False: princípio de incerteza não afirma que medir posição com precisão arbitrária requer tempo infinito; confunde tempo de medição com a relação x- p.
  • (e) False: não existe uma proibição universal entre energia e posição — depende do comutador [x,H] e do estado; não é um par canônico universal como x e p.

Resposta

a

Exercícios relacionados