Duas cargas puntiformes com carga elementar " +e " e “-e” estão a uma distância de 1,0 \mu \mathrm{~m}, formando um dipolo elétrico. (a) Calcule o momento de dipolo elétrico. (b) As cargas estão no interior de um campo elétrico cuja direção faz um ângulo de 45^{\circ} com o vetor momento de dipolo. Qual é o módulo desse campo, sabendo que o módulo do torque exercido sobre o dipolo é igual a 3,2 \times 10^{-12} \mathrm{~N} . \mathrm{m}. (c) Calcule a diferença de energia potencial entre o dipolo orientado neste ângulo e paralelamente ao campo elétrico.

Passo 1

O enunciado descreve um dipolo elétrico formado por duas cargas puntiformes +e e -e separadas por d=1,0~\mu\mathrm{m}. Precisamos calcular:
  1. O momento de dipolo elétrico \mathbf p.
  2. O módulo do campo elétrico E sabendo que o torque \tau sobre o dipolo é 3,2\times10^{-12}~\mathrm{N\cdot m} quando o ângulo entre \mathbf p e \mathbf E vale 45^\circ.
  3. A diferença de energia potencial entre as orientações a 45^\circ e a 0^\circ (paralela).
O conteúdo envolve definição de momento de dipolo, torque sobre dipolo e energia potencial de dipolo em campo elétrico.

Passo 2

O momento de dipolo elétrico é dado por
\mathbf p = q\,\mathbf d
em módulo vale
p = e\,d.
Substituindo e=1,6\times10^{-19}~\mathrm{C} e d=1,0\times10^{-6}~\mathrm{m}, temos
p = \bigl(1,6\times10^{-19}~\mathrm{C}\bigr)\bigl(1,0\times10^{-6}~\mathrm{m}\bigr) =1,6\times10^{-25}~\mathrm{C\cdot m}.

Passo 3

O torque sobre um dipolo num campo é
\tau = p\,E\,\sin\theta.
Rearranjando para E e usando \tau=3,2\times10^{-12}~\mathrm{N\cdot m} e \theta=45^\circ (logo \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}),
E = \frac{\tau}{p\sin45^\circ} = \frac{3,2\times10^{-12}}{(1,6\times10^{-25})(\sqrt2/2)} \approx2,8\times10^{13}~\mathrm{V/m}.

Passo 4

A energia potencial de um dipolo é
U(\theta)=-pE\cos\theta.
Queremos
\Delta U = U(45^\circ)-U(0^\circ) =-pE\cos45^\circ - \bigl(-pE\cos0^\circ\bigr) =-pE\bigl(\cos45^\circ -1\bigr).
Como \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},
\Delta U =-pE\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}-1\Bigr) = pE\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) \approx(1,6\times10^{-25})(2,8\times10^{13})(1-0,707) \approx1,3\times10^{-12}~\mathrm{J}.

Resposta

(a) p=1,6\times10^{-25}~\mathrm{C\cdot m}.
(b) E\approx2,8\times10^{13}~\mathrm{V/m}.
(c) \Delta U\approx1,3\times10^{-12}~\mathrm{J}.

Exercícios relacionados