31 F (a) Para que frequência um indutor de 6,0 \mathrm{mH} e um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} têm a mesma reatância? (b) Qual é o valor da reatância? (c) Mostre que a frequência é a frequência natural de um circuito oscilador com os mesmos valores de L e $C.

Passo 1

O enunciado pede: (a) a frequência em que um indutor de 6,0\\ \mathrm{mH} e um capacitor de 10\\ \mu\mathrm{F} têm a mesma reatância; (b) o valor dessa reatância; (c) mostrar que essa frequência coincide com a frequência natural de um circuito oscilador LC. O conteúdo envolve reatâncias em regime senoidal e ressonância em circuito LC.

Passo 2

Em regime senoidal, a reatância do indutor e do capacitor são dadas por
X_{L} = \omega\,L,
X_{C} = \frac{1}{\omega\,C},
onde \omega = 2\pi f é a pulsação e f a frequência.

Passo 3

Para ter X_{L}=X_{C} basta igualar as expressões:
\omega\,L = \frac{1}{\omega\,C}
\omega^{2} = \frac{1}{L\,C}
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}
e, como f=\omega/(2\pi),
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}.

Passo 4

Substituindo L=6,0\\ \mathrm{mH}=6,0\times10^{-3}\,\mathrm{H} e C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\,\mathrm{F}:
L\,C = (6,0\times10^{-3})(10\times10^{-6}) = 6,0\times10^{-8},
\sqrt{L\,C} = \sqrt{6,0\times10^{-8}}\approx2,45\times10^{-4},
f = \frac{1}{2\pi\,(2,45\times10^{-4})}\approx650\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Nesse ponto de igualdade, a reatância vale
X = X_{L} = \omega\,L = 2\pi f\,L = 2\pi\,(650)\,(6,0\times10^{-3})\approx24,5\\ \Omega.
Também daria o mesmo valor usando X_{C}=1/(\omega C).

Passo 6

Num circuito oscilador ideal LC, a frequência natural é exatamente
f_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}},
que coincide com o valor encontrado em (a). Portanto, a frequência em que X_{L}=X_{C} é a frequência de ressonância (ou natural) do circuito LC.

Resposta

(a) 650\\ \mathrm{Hz}
(b) 24,5\\ \Omega
(c) Porque a condição X_{L}=X_{C} leva a f=1/(2\pi\sqrt{LC}), que é justamente a frequência natural de um circuito oscilador LC.

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