1. Duas cargas puntiformes estão separadas por uma distância de 10 cm . Estas cargas são dadas por: q_{1}=2 \cdot 10^{-7} \mathrm{C} e q_{2}=2,5 \cdot 10^{-9} \mathrm{C}. Determine: (a) o campo elétrico que cada uma delas produz no local onde a outra se encontra: (b) a força elétrica sobre cada uma delas.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes separadas por uma distância de 10\\ \text{cm}. Os dados são:
q_{1}=2\cdot10^{-7}\\ \text{C},\qquad q_{2}=2,5\cdot10^{-9}\\ \text{C},
\text{distância } r = 10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m}.â
As perguntas são:
(a) determinar o campo elétrico que cada carga produz no local onde a outra se encontra (ou seja, E produzido por q_1 no ponto de q_2 e E produzido por q_2 no ponto de q_1);\n
(b) determinar a força elétrica sobre cada uma das cargas (força sobre q_1 devido a q_2 e sobre q_2 devido a q_1).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O campo elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é dado por Coulomb:
\mathbf{E}=\dfrac{k\,q}{r^{2}}\\ \hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\cdot10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\!/\text{C}^{2};
  • q é a carga fonte (em coulombs);
  • r é a distância do ponto à carga (em metros);
  • \hat{r} é o versor que indica a direção do campo: para carga positiva o campo aponta para fora da carga (longe dela); para carga negativa aponta para ela.
  • A força elétrica sobre uma carga de prova q' colocada num campo \mathbf{E} é:
\mathbf{F}=q'\,\mathbf{E}.
  • Alternativamente, a força entre duas cargas puntiformes é dada por:
\mathbf{F}=\dfrac{k\,q_{1}q_{2}}{r^{2}}\\ \hat{r}_{12},
onde \hat{r}_{12} aponta de q_{1} para q_{2}. Para cargas do mesmo sinal a força é de repulsão; para sinais opostos, atração.
Vou aplicar essas fórmulas com nossos números (sempre em SI).

Passo 3

Cálculo do campo produzido por q_{1} no ponto onde está q_{2}.
Fórmula de módulo:
E_{1\text{ em }2}=\dfrac{k\,q_{1}}{r^{2}}.
Substituindo os valores (mostrando contas em notação científica):
r=0{,}10\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=0{,}01\\ \text{m}^{2}.
E_{1\text{ em }2}=\dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\times 2\cdot10^{-7}}{0{,}01}.
Primeiro multiplico k por q_{1}:
8{,}99\cdot10^{9}\times 2\cdot10^{-7}=17{,}98\cdot10^{2}=1{,}798\cdot10^{3}.
Agora divido por 0{,}01=10^{-2}, que é igual a multiplicar por 10^{2}:
E_{1\text{ em }2}=1{,}798\cdot10^{3}\times10^{2}=1{,}798\cdot10^{5}\\ \text{N/C}.
Arredondando sensivelmente:
E_{1\text{ em }2}\approx 1{,}80\cdot10^{5}\\ \text{N/C}.

Passo 4

Cálculo do campo produzido por q_{2} no ponto onde está q_{1}.
Fórmula:
E_{2\text{ em }1}=\dfrac{k\,q_{2}}{r^{2}}.
Substituindo:
E_{2\text{ em }1}=\dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\times 2{,}5\cdot10^{-9}}{0{,}01}.
Multiplicando k por q_{2}:
8{,}99\cdot10^{9}\times 2{,}5\cdot10^{-9}=22{,}475\approx 22{,}475.
Dividindo por 0{,}01 (multiplicar por 10^{2}):
E_{2\text{ em }1}=22{,}475\times10^{2}=2{,}247{,}5\cdot10^{3}\\ \text{N/C}.
Arredondando:
E_{2\text{ em }1}\approx 2{,}25\cdot10^{3}\\ \text{N/C}.

Passo 5

Direções dos campos (muito importante para a prova):
  • Ambas as cargas são positivas. O campo criado por uma carga positiva aponta para fora (longe da carga).
  • Logo, o campo de q_{1} no ponto de q_{2} aponta de q_{1} para q_{2} (ou seja, “empurra” positivo para longe de q_{1}).
  • O campo de q_{2} no ponto de q_{1} aponta de q_{2} para q_{1}.
  • Note que essas duas direções são opostas entre si (faz sentido geométrico: cada campo aponta para fora da carga que o gerou).

Passo 6

Cálculo da força elétrica entre as cargas (módulo). Uso a forma direta de Coulomb:
F=\dfrac{k\,q_{1}q_{2}}{r^{2}}.
Substituindo:
q_{1}q_{2}=2\cdot10^{-7}\times 2{,}5\cdot10^{-9}=5{,}0\cdot10^{-16}.
F=\dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\times 5{,}0\cdot10^{-16}}{0{,}01}.
Calculo intermédio:
8{,}99\cdot10^{9}\times 5{,}0\cdot10^{-16}=44{,}95\cdot10^{-7}=4{,}495\cdot10^{-6}.
Dividindo por 0{,}01=10^{-2} (multiplicar por 10^{2}):
F=4{,}495\cdot10^{-6}\times10^{2}=4{,}495\cdot10^{-4}\\ \text{N}.
Arredondando:
F\approx 4{,}50\cdot10^{-4}\\ \text{N}.

Passo 7

Força sobre cada carga (vetorial e interpretação):
  • A magnitude da força sobre q_{2} devido a q_{1} é F\approx 4{,}50\cdot10^{-4}\\ \text{N} e, como as cargas têm mesmo sinal, é de repulsão. Logo a força sobre q_{2} aponta de q_{1} para q_{2} (afasta q_{2} de q_{1}).
  • Pela terceira lei de Newton, a força sobre q_{1} devido a q_{2} tem a mesma magnitude e sentido oposto: magnitude 4{,}50\cdot10^{-4}\\ \text{N} e direção de q_{2} para q_{1}.

Resposta

(a) E_{1\text{ em }2}\approx 1{,}80\cdot10^{5}\\ \text{N/C} (apontando de q_{1} para q_{2}).\n
(a) E_{2\text{ em }1}\approx 2{,}25\cdot10^{3}\\ \text{N/C} (apontando de q_{2} para q_{1}).\n
(b) |\mathbf{F}|=4{,}50\cdot10^{-4}\\ \text{N}. Força sobre q_{2} devido a q_{1}: aponta de q_{1} para q_{2} (repulsiva).\n
(b) Força sobre q_{1} devido a q_{2}: mesma magnitude 4{,}50\cdot10^{-4}\\ \text{N}, apontando de q_{2} para q_{1}.

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