- Uma partícula elementar de massa me carga q é abandonada com uma velocidade inicial
num campo elétrico uniforme
. Suponha que a velocidade inicial possua o mesmo sentido e a mesma direção do campo
. Determine a velocidade da partícula: (a) em função do tempo; (b) em função da distância percorrida. Utilize um eixo Oz orientado no mesmo sentido do campo
. (resp.(a)
(b)
).
- Calcule a variação da energia cinética da partícula mencionada no problema anterior desde o momento inicial até o instante em que sua velocidade é igual a
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
e carga
lançada com velocidade inicial
num campo elétrico uniforme
. Foi dito que a velocidade inicial tem o mesmo sentido e direção do campo
. Foi pedido:
(a) determinar a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) determinar a velocidade da partícula em função da distância percorrida ao longo do eixo (que escolhemos orientado no mesmo sentido de
).
Além disso, há a pergunta 04: calcular a variação da energia cinética da partícula desde o instante inicial até o instante em que sua velocidade é .
(a) determinar a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) determinar a velocidade da partícula em função da distância percorrida ao longo do eixo
Além disso, há a pergunta 04: calcular a variação da energia cinética da partícula desde o instante inicial até o instante em que sua velocidade é
Informações relevantes que já temos resumidas:
— massa (constante),
— carga (pode ser positiva ou negativa),
— velocidade inicial (escalares ao longo de
, mesma direção de
),
— campo elétrico uniforme; usaremos
para sua magnitude ao longo do eixo
.
A orientação do eixo é tal que vetores no sentido positivo de têm mesmo sentido de
.
A orientação do eixo é tal que vetores no sentido positivo de
Passo 2
Força elétrica e segunda lei de Newton. A força elétrica sobre a carga é
Como escolhemos o eixo
no mesmo sentido de
, podemos trabalhar com as componentes escalares ao longo de
. A componente da força ao longo de
é
onde
é a magnitude do campo no sentido positivo de
(se
apontar no sentido positivo, então
; se não tivermos certeza do sinal, a fórmula ainda vale com
positivo e o sinal aparece com
). Pela segunda lei de Newton,
onde
é a aceleração escalar ao longo de
. Substituindo:
Observações didáticas rápidas: aqui
é a derivada temporal da velocidade (
). Como
é uniforme e
e
são constantes, a força é constante e, portanto, a aceleração é constante.
Passo 3
Velocidade em função do tempo (caso de aceleração constante). Se
é constante, a relação entre
e
vem integrando
. Escrevendo a equação e integrando entre o instante inicial
(velocidade
) e um tempo genérico
(velocidade
):
Integramos ambos os lados em
:
O lado esquerdo dá
. Logo
Substituindo
,
Explicação intuitiva: velocidade inicial mais “acréscimo” linear no tempo quando a aceleração é constante.
Passo 4
Velocidade em função da posição
. Aqui queremos eliminar o tempo e relacionar
com a distância percorrida
ao longo do eixo. Usamos a identidade da cinemática que vem do produto da aceleração pela velocidade:
Isso é uma aplicação da regra da cadeia: a variação de
no tempo passa pela variação de
com a posição e a variação da posição no tempo (que é
). Substituindo
, obtemos a equação diferencial
Agora separa-se e integra-se entre a posição inicial
(assumida) com velocidade
e uma posição
com velocidade
:
O lado esquerdo integra para
; o direito para
. Portanto
Multiplicando por
,
Observação sobre sinais: se
for negativo, o termo adicional pode reduzir
conforme
aumenta — isso significa que a partícula é retardada pelo campo se o sinal da força for oposto ao movimento. A fórmula é geral; o sinal de
cuida da direção da aceleração.
Passo 5
Ligação com energia (preparação para o problema 04). A energia cinética de uma partícula é definida por
A variação de energia cinética entre o instante inicial (velocidade
) e um instante em que a velocidade é
é
Podemos usar a relação obtida no Passo 4 para reescrever
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Interpretação física e verificação por trabalho. A expressão
diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força elétrica quando a partícula desloca uma distância
ao longo da direção do campo: o trabalho é
e pelo teorema trabalho-energia
, o que confirma o resultado obtido. Novamente, o sinal de
determina se a energia cinética aumenta (
) ou diminui (
) quando z aumenta.
Resposta
(a)
(b)
Variação da energia cinética:
(b)
Variação da energia cinética: