1. Uma partícula elementar de massa me carga q é abandonada com uma velocidade inicial \mathbf{v}_{0} num campo elétrico uniforme \mathbb{E}. Suponha que a velocidade inicial possua o mesmo sentido e a mesma direção do campo \overrightarrow{\mathbb{E}}. Determine a velocidade da partícula: (a) em função do tempo; (b) em função da distância percorrida. Utilize um eixo Oz orientado no mesmo sentido do campo \overrightarrow{\mathbf{E}}. (resp.(a) v=v_{0}+a . t ; a=q . E / m \quad (b) v^{2}=v_{0}^{2}+2 . a z ; a=q . E / m ).
  2. Calcule a variação da energia cinética da partícula mencionada no problema anterior desde o momento inicial até o instante em que sua velocidade é igual a \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa \;m\; e carga \;q\; lançada com velocidade inicial \;v_{0}\; num campo elétrico uniforme \;\mathbb{E}\;. Foi dito que a velocidade inicial tem o mesmo sentido e direção do campo \overrightarrow{\mathbb{E}}. Foi pedido:
(a) determinar a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) determinar a velocidade da partícula em função da distância percorrida ao longo do eixo \;Oz\; (que escolhemos orientado no mesmo sentido de \overrightarrow{\mathbb{E}}).
Além disso, há a pergunta 04: calcular a variação da energia cinética da partícula desde o instante inicial até o instante em que sua velocidade é \;v\;.
Informações relevantes que já temos resumidas:
\;m — massa (constante),
\;q — carga (pode ser positiva ou negativa),
\;v_{0} — velocidade inicial (escalares ao longo de Oz, mesma direção de \mathbb{E}),
\;\mathbb{E} — campo elétrico uniforme; usaremos \;E\; para sua magnitude ao longo do eixo Oz.
A orientação do eixo é tal que vetores no sentido positivo de z têm mesmo sentido de \overrightarrow{\mathbb{E}}.

Passo 2

Força elétrica e segunda lei de Newton. A força elétrica sobre a carga é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}.
Como escolhemos o eixo Oz no mesmo sentido de \mathbf{E}, podemos trabalhar com as componentes escalares ao longo de z. A componente da força ao longo de z é
F_z = q\,E,
onde E é a magnitude do campo no sentido positivo de z (se \mathbf{E} apontar no sentido positivo, então E>0; se não tivermos certeza do sinal, a fórmula ainda vale com E positivo e o sinal aparece com q). Pela segunda lei de Newton,
m\,a = F_z,
onde a é a aceleração escalar ao longo de z. Substituindo:
m\,a = q\,E \quad\Rightarrow\quad a = \frac{q\,E}{m}.
Observações didáticas rápidas: aqui a é a derivada temporal da velocidade ( a=dv/dt). Como \mathbf{E} é uniforme e q e m são constantes, a força é constante e, portanto, a aceleração é constante.

Passo 3

Velocidade em função do tempo (caso de aceleração constante). Se a é constante, a relação entre v e t vem integrando dv/dt = a. Escrevendo a equação e integrando entre o instante inicial t=0 (velocidade \;v_0) e um tempo genérico t (velocidade \;v(t)):
\frac{dv}{dt}=a=\frac{qE}{m}.
Integramos ambos os lados em t:
\int_{v_{0}}^{v(t)} dv = \int_{0}^{t} a\, dt = a\int_{0}^{t} dt = a\,t.
O lado esquerdo dá v(t)-v_{0}. Logo
v(t)-v_{0}=a\,t.
Substituindo a=\dfrac{qE}{m},
\boxed{\,v(t)=v_{0}+\frac{qE}{m}\,t\,}.
Explicação intuitiva: velocidade inicial mais “acréscimo” linear no tempo quando a aceleração é constante.

Passo 4

Velocidade em função da posição z. Aqui queremos eliminar o tempo e relacionar v com a distância percorrida z ao longo do eixo. Usamos a identidade da cinemática que vem do produto da aceleração pela velocidade:
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{dv}{dz}\,v.
Isso é uma aplicação da regra da cadeia: a variação de v no tempo passa pela variação de v com a posição e a variação da posição no tempo (que é v). Substituindo a=\dfrac{qE}{m}, obtemos a equação diferencial
v\frac{dv}{dz}=\frac{qE}{m}.
Agora separa-se e integra-se entre a posição inicial z=0 (assumida) com velocidade v_0 e uma posição z com velocidade v:
\int_{v_{0}}^{v} v\,dv = \frac{qE}{m}\int_{0}^{z} dz.
O lado esquerdo integra para \tfrac{1}{2}(v^{2}-v_{0}^{2}); o direito para \dfrac{qE}{m}z. Portanto
\frac{1}{2}\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr)=\frac{qE}{m}\,z.
Multiplicando por 2,
\boxed{\,v^{2}=v_{0}^{2}+2\frac{qE}{m}\,z\,}.
Observação sobre sinais: se q for negativo, o termo adicional pode reduzir v^{2} conforme z aumenta — isso significa que a partícula é retardada pelo campo se o sinal da força for oposto ao movimento. A fórmula é geral; o sinal de q cuida da direção da aceleração.

Passo 5

Ligação com energia (preparação para o problema 04). A energia cinética de uma partícula é definida por
K=\frac{1}{2}m v^{2}.
A variação de energia cinética entre o instante inicial (velocidade \;v_{0}) e um instante em que a velocidade é \;v é
\Delta K = K-K_{0}=\frac{1}{2}m\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr).
Podemos usar a relação obtida no Passo 4 para reescrever v^{2}-v_{0}^{2} em termos de z:
v^{2}-v_{0}^{2}=2\frac{qE}{m}\,z.
Substituindo na expressão de \Delta K:
\Delta K=\frac{1}{2}m\left(2\frac{qE}{m}\,z\right)=qE\,z.

Passo 6

Interpretação física e verificação por trabalho. A expressão \Delta K=qE\,z diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força elétrica quando a partícula desloca uma distância z ao longo da direção do campo: o trabalho é
W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} = \int_{0}^{z} qE\,dz' = qE\,z,
e pelo teorema trabalho-energia W=\Delta K, o que confirma o resultado obtido. Novamente, o sinal de q determina se a energia cinética aumenta ( qE\,z>0) ou diminui ( qE\,z<0) quando z aumenta.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=v_{0}+\frac{qE}{m}\,t,\quad a=\frac{qE}{m}.
(b) \displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2\frac{qE}{m}\,z.
Variação da energia cinética: \displaystyle \Delta K=\frac{1}{2}m\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr)=qE\,z.

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