(2,5) Duas cargas puntiformes idênticas e positivas, de carga Q=Q_{1}, estão fixas ao longo do eixo x, posicionadas em x=-a e x=+a.
Determine o vetor campo elétrico resultante no ponto P=(0,0, z), considerando z>0.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Duas cargas puntiformes idênticas e positivas, cada uma com carga Q.
  • Estão fixas ao longo do eixo x, nas posições x=-a e x=+a. Ou seja, suas posições são (-a,0,0) e (+a,0,0).
  • Ponto onde se quer o campo: P=(0,0,z), com z>0.
  • O que se pede: determinar o vetor campo elétrico resultante \vec E no ponto P.

Passo 2

Fórmula básica e interpretação (ferramenta que será usada):
  • A lei de Coulomb para o campo elétrico produzido por uma carga pontual Q localizada em \vec r_\text{fonte} dá, no ponto \vec r,
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{|\vec r-\vec r_\text{fonte}|^2}\,\hat u,
onde \hat u é o versor que aponta da carga para o ponto onde se calcula o campo.
  • É frequentemente mais conveniente usar a forma vetorial
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,(\vec r-\vec r_\text{fonte})}{|\vec r-\vec r_\text{fonte}|^3}.
Nessa expressão:
  • \vec r-\vec r_\text{fonte} é o vetor que vai da posição da carga até o ponto de interesse;
  • |\vec r-\vec r_\text{fonte}| é o comprimento desse vetor;
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • o sinal e a direção do campo seguem conforme o sinal de Q (aqui Q>0, então o campo aponta para longe de cada carga).

Passo 3

Calcular os vetores posição relativos (vetor do ponto da carga até P):
  • Para a carga em x=+a (posição (a,0,0)), o vetor que vai da carga até P é
\vec r_{+}=\vec r_P-\vec r_{+a}=(0,0,z)-(a,0,0)=(-a,0,z).
  • Para a carga em x=-a (posição (-a,0,0)), o vetor é
\vec r_{-}=\vec r_P-\vec r_{-a}=(0,0,z)-(-a,0,0)=(a,0,z).
  • O comprimento comum desses vetores (distância de cada carga até P) é
r=\bigl|\vec r_{\pm}\bigr|=\sqrt{a^2+z^2}.
Explanação curta: as duas distâncias são iguais por simetria, porque P está no plano médio entre as cargas.

Passo 4

Campo elétrico produzido por cada carga (usar a forma vetorial):
  • Usando \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}, o campo devido à carga em +a é
\vec E_{+}=k\,Q\,\frac{\vec r_{+}}{r^3}=k\,Q\,\frac{(-a,0,z)}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
  • O campo devido à carga em -a é
\vec E_{-}=k\,Q\,\frac{\vec r_{-}}{r^3}=k\,Q\,\frac{(a,0,z)}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Comentário didático: a componente em x de cada um tem sinal oposto (uma é -kQa/r^3 e a outra +kQa/r^3), enquanto a componente em z de ambas é positiva e igual a kQz/r^3.

Passo 5

Somar as contribuições vetoriais componente a componente:
  • Componente x:
E_{x}= -k\frac{Q a}{(a^2+z^2)^{3/2}} \;+\; k\frac{Q a}{(a^2+z^2)^{3/2}} = 0.
  • Componente y: ambas são zero, logo E_{y}=0.
  • Componente z: somam-se
E_{z}=k\frac{Q z}{(a^2+z^2)^{3/2}} \;+\; k\frac{Q z}{(a^2+z^2)^{3/2}} =2k\frac{Q z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Portanto o campo resultante é só na direção z, com magnitude dada acima.
Interpretação física curta: como as cargas são positivas, cada uma “empurra” o ponto P para cima (direção +z), as componentes horizontais se cancelam por simetria, sobrando apenas a componente vertical positiva.

Passo 6

Escrever a resposta final usando \hat z e \epsilon_0:
Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} obtemos a expressão final
\boxed{\displaystyle \vec E(0,0,z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{2Q\,z}{\bigl(a^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,\hat z,\qquad (z>0).}
Breve verificação de limites (útil para prova): para z\to0 o valor vai para zero (esperado por simetria no plano z=0); para z\gg a o denominador tende a z^3 e \vec E\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Q}{z^2}\hat z, ou seja, comporta-se como uma carga total 2Q localizada perto da origem.

Resposta

\displaystyle \vec E(0,0,z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{2Q\,z}{\bigl(a^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,\hat z

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