Duas partículas pontuais idênticas estão separadas por uma distância
e possuem cargas elétricas iguais em módulo
e massas iguais
.
Considere que a força elétrica entre elas tem o mesmo módulo que a força gravitacional.
Determine:
(a) A relação entre a massa
e a carga
para que os módulos dessas forças sejam iguais.
(b) O valor numérico da massa
quando
.
Considere:
(a) A relação entre a massa
(b) O valor numérico da massa
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a relação entre a massa
e a carga para que os módulos das forças elétrica e gravitacional entre as duas partículas sejam iguais. - (b) Calcular numericamente
quando .
Informações e dados fornecidos:
- As duas partículas são idênticas: mesma carga em módulo
, mesma massa , e estão separadas por uma distância . - A força elétrica (módulo) entre elas é igual ao módulo da força gravitacional entre elas.
- Constantes fornecidas:
- Valor pedido em (b):
.
Passo 2
Escrever as expressões (módulos) das duas forças entre duas cargas puntiformes/duas massas puntiformes:
- Força elétrica (Lei de Coulomb) entre duas cargas iguais
separadas por :
Explanação:
é a constante eletrostática,
é a carga de cada partícula e
é a distância entre elas. O termo
aparece porque ambas as partículas têm carga
; o sinal (positivo/negativo) fica de fora pois só comparamos módulos.
- Força gravitacional (Lei da Gravitação Universal) entre duas massas iguais
separadas por :
Explanação:
é a constante gravitacional,
é a massa de cada partícula; novamente aparece
porque são duas massas iguais.
Passo 3
Igualar os módulos conforme o enunciado:
Observação importante: o fator
aparece em ambos os lados, portanto cancela-se. Isso significa que a condição de igualdade de módulos independe da distância
(contanto que seja a mesma em ambos os casos).
Após cancelar
obtemos:
Agora resolver para
. Isolando
:
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque
é massa positiva):
Essa é a relação pedida entre
e
.
Verificação dimensional:
tem unidades
. Tomando raiz:
tem unidades
. Assim
(em C) vezes
dá massa em kg — coerente.
Passo 4
Agora calcular numericamente para
.
Primeiro calcular a razão
:
Tomando a raiz quadrada:
Agora multiplicar por
:
Arredondando de forma coerente com os algarismos significativos dos dados (dois algarismos em
e em
), podemos escrever:
Passo 5
Comentário final (motivador): o resultado mostra que, para duas partículas com carga elétrica de
, a massa necessária para que a atração gravitacional tenha o mesmo módulo que a repulsão elétrica é enorme (
). Isso explica por que, em escala de partículas ou objetos pequenos, a força elétrica tipicamente domina muito sobre a gravitacional.