(2,5) Duas partículas pontuais idênticas estão separadas por uma distância r e possuem cargas elétricas iguais em módulo q e massas iguais m.
Considere que a força elétrica entre elas tem o mesmo módulo que a força gravitacional.
Determine:
(a) A relação entre a massa m e a carga q para que os módulos dessas forças sejam iguais.
(b) O valor numérico da massa m quando q=2,0 \mu \mathrm{C}.
Considere:
k=9,0 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2} \quad \text { e } \quad G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a relação entre a massa m e a carga q para que os módulos das forças elétrica e gravitacional entre as duas partículas sejam iguais.
  • (b) Calcular numericamente m quando q=2,0\\ \mu\mathrm{C}.
Informações e dados fornecidos:
  • As duas partículas são idênticas: mesma carga em módulo q, mesma massa m, e estão separadas por uma distância r.
  • A força elétrica (módulo) entre elas é igual ao módulo da força gravitacional entre elas.
  • Constantes fornecidas: k = 9,0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},\qquad G = 6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}.
  • Valor pedido em (b): q=2,0\\ \mu\mathrm{C}=2,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Escrever as expressões (módulos) das duas forças entre duas cargas puntiformes/duas massas puntiformes:
  • Força elétrica (Lei de Coulomb) entre duas cargas iguais q separadas por r:
F_{\text{el}} = \frac{k\,q^{2}}{r^{2}}.
Explanação: k é a constante eletrostática, q é a carga de cada partícula e r é a distância entre elas. O termo q^{2} aparece porque ambas as partículas têm carga q; o sinal (positivo/negativo) fica de fora pois só comparamos módulos.
  • Força gravitacional (Lei da Gravitação Universal) entre duas massas iguais m separadas por r:
F_{\text{grav}} = \frac{G\,m^{2}}{r^{2}}.
Explanação: G é a constante gravitacional, m é a massa de cada partícula; novamente aparece m^{2} porque são duas massas iguais.

Passo 3

Igualar os módulos conforme o enunciado:
\frac{k\,q^{2}}{r^{2}}=\frac{G\,m^{2}}{r^{2}}.
Observação importante: o fator \dfrac{1}{r^{2}} aparece em ambos os lados, portanto cancela-se. Isso significa que a condição de igualdade de módulos independe da distância r (contanto que seja a mesma em ambos os casos).
Após cancelar r^{2} obtemos:
k\,q^{2}=G\,m^{2}.
Agora resolver para m. Isolando m^{2}:
m^{2}=\frac{k}{G}\,q^{2}.
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque m é massa positiva):
m=q\,\sqrt{\frac{k}{G}}.
Essa é a relação pedida entre m e q.
Verificação dimensional: \dfrac{k}{G} tem unidades \dfrac{\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}}{\mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}}=\mathrm{kg^{2}/C^{2}}. Tomando raiz: \sqrt{k/G} tem unidades \mathrm{kg/C}. Assim q (em C) vezes \sqrt{k/G} dá massa em kg — coerente.

Passo 4

Agora calcular numericamente para q=2,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Primeiro calcular a razão k/G:
\frac{k}{G}=\frac{9,0\times10^{9}}{6,67\times10^{-11}} = \left(\frac{9,0}{6,67}\right)\times10^{9-(-11)} =1,349\ldots\times10^{20}.
Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{k}{G}}=\sqrt{1,349\ldots\times10^{20}} =\sqrt{1,349\ldots}\times10^{10}\approx1,16\times10^{10}\\ \mathrm{kg/C}.
Agora multiplicar por q:
m=q\,\sqrt{\frac{k}{G}}=(2,0\times10^{-6})\times(1,16\times10^{10}) \approx2,32\times10^{4}\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma coerente com os algarismos significativos dos dados (dois algarismos em q e em k), podemos escrever:
m\approx2,3\times10^{4}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Comentário final (motivador): o resultado mostra que, para duas partículas com carga elétrica de 2,0\\ \mu\mathrm{C}, a massa necessária para que a atração gravitacional tenha o mesmo módulo que a repulsão elétrica é enorme ( \sim 10^{4}\\ \mathrm{kg}). Isso explica por que, em escala de partículas ou objetos pequenos, a força elétrica tipicamente domina muito sobre a gravitacional.

Resposta

m = q\,\sqrt{\dfrac{k}{G}}
m \approx 2,3\times10^{4}\\ \mathrm{kg} (para q=2,0\\ \mu\mathrm{C})

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