A função horária do espaço de um móvel é dada por:
s(t)=2+3 t+4 t^{3}
Considere as unidades dadas de acordo com o SI. Determine para esse movimento:
A) A posição, a velocidade inicial e a aceleração em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s};
B) A função horária de sua aceleração

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária do espaço
s(t)=2+3t+4t^{3},
com unidades do SI (logo s em \text{m}, t em \text{s}). As perguntas são:
A) Determinar
  • a posição em t=10\\ \text{s};
  • a velocidade inicial (isto é, a velocidade em t=0);
  • a aceleração em t=10\\ \text{s}.
    B) Determinar a função horária da aceleração a(t).

Passo 2

Conceito e método: velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo. Isso significa que para obter v(t) aplicamos a regra do derivar termo a termo:
  • a derivada de uma constante é zero;
  • a derivada de k\,t é k;
  • a derivada de k\,t^{n} é k\cdot n\,t^{n-1} (regra do polinômio ou “regra do poder”).
Aplicando a essas regras à função s(t):
v(t)=\frac{d}{dt}s(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(3t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}\bigr).
Agora calculando cada derivada: \dfrac{d}{dt}(2)=0, \dfrac{d}{dt}(3t)=3, \dfrac{d}{dt}(4t^{3})=4\cdot 3\,t^{2}=12t^{2}. Portanto,
v(t)=3+12t^{2}.

Passo 3

Conceito: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada do espaço). Aplicamos novamente a regra do poder à função v(t):
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(12t^{2}\bigr).
Calculando: \dfrac{d}{dt}(3)=0 e \dfrac{d}{dt}(12t^{2})=12\cdot 2\,t=24t. Logo a função horária da aceleração é
a(t)=24t.

Passo 4

Agora vamos avaliar a posição em t=10\\ \text{s}. Substituir t=10 em s(t):
s(10)=2+3\cdot 10+4\cdot 10^{3}.
Calcule passo a passo: 3\cdot 10=30, 10^{3}=1000 e 4\cdot 1000=4000. Assim
s(10)=2+30+4000=4032\\ \text{m}.

Passo 5

Velocidade inicial: avaliar v(t) em t=0:
v(0)=3+12\cdot 0^{2}=3+0=3\\ \text{m/s}.
Interpretação curta: essa é a velocidade do móvel no instante inicial t=0.

Passo 6

Aceleração em t=10\\ \text{s}: usar a(t)=24t e substituir t=10:
a(10)=24\cdot 10=240\\ \text{m/s}^{2}.
Comentário físico: o valor é grande porque a componente cúbica em s(t) gera aceleração que cresce linearmente com o tempo.

Resposta

A) \;s(10)=4032\\ \text{m} \;,\; v(0)=3\\ \text{m/s} \;,\; a(10)=240\\ \text{m/s}^{2}
B) \;a(t)=24t\\ \text{m/s}^{2}

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