A função horária do espaço de um móvel é dada por:
Considere as unidades dadas de acordo com o SI. Determine para esse movimento:
A) A posição, a velocidade inicial e a aceleração em
;
B) A função horária de sua aceleração
A) A posição, a velocidade inicial e a aceleração em
B) A função horária de sua aceleração
Passo 1
O enunciado nos dá a função horária do espaço
com unidades do SI (logo
em
,
em
). As perguntas são:
A) Determinar
A) Determinar
- a posição em
; - a velocidade inicial (isto é, a velocidade em
); - a aceleração em
.
B) Determinar a função horária da aceleração.
Passo 2
Conceito e método: velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo. Isso significa que para obter
aplicamos a regra do derivar termo a termo:
- a derivada de uma constante é zero;
- a derivada de
é ; - a derivada de
é (regra do polinômio ou “regra do poder”).
Aplicando a essas regras à função
:
Agora calculando cada derivada:
,
,
. Portanto,
Passo 3
Conceito: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada do espaço). Aplicamos novamente a regra do poder à função
:
Calculando:
e
. Logo a função horária da aceleração é
Passo 4
Agora vamos avaliar a posição em
. Substituir
em
:
Calcule passo a passo:
,
e
. Assim
Passo 5
Velocidade inicial: avaliar
em
:
Interpretação curta: essa é a velocidade do móvel no instante inicial
.
Passo 6
Aceleração em
: usar
e substituir
:
Comentário físico: o valor é grande porque a componente cúbica em
gera aceleração que cresce linearmente com o tempo.
Resposta
A)
B)
B)