Duas cargas de valores q_{0} e 3 q_{0} encontram-se separadas por uma distância a e são livres para se mover. Onde deve ser fixada uma terceira carga pontual para que as duas primeiras não se movam? Qual deve ser o valor dessa carga?

Passo 1

O enunciado pede para fixar uma terceira carga pontual de modo que duas cargas q_{0} (em x=0) e 3q_{0} (em x=a) fiquem em equilíbrio estático, isto é, a soma das forças sobre cada uma deve ser zero. O conteúdo usado será a Lei de Coulomb e o princípio de superposição das forças eletrostáticas.

Passo 2

Escolhemos o eixo x e colocamos
q_1 = q_{0}\quad\text{em }x=0,\qquad q_2 = 3q_{0}\quad\text{em }x=a,
e a carga Q a determinar em x=d. Calculamos a força resultante sobre cada uma devido às outras duas cargas, exigindo que ambas sejam nulas.

Passo 3

Força sobre q_1 em x=0:
– de q_2 (em x=a):
F_{1,2} = k\,\frac{q_{0}\,(3q_{0})}{a^2}
(repulsiva, empurra q_1 para x<0).
– de Q (em x=d):
F_{1,Q} = k\,\frac{q_{0}\,Q}{d^2}
(positiva ou negativa conforme o sinal de Q, mas atua também no sentido x<0 se Q>0).
Para equilíbrio em q_1:
F_{1,2}\;+\;F_{1,Q}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3q_{0}^2}{a^2}+\frac{q_{0}\,Q}{d^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad Q=-3q_{0}\,\frac{d^2}{a^2}.

Passo 4

Força sobre q_2 em x=a:
– de q_1 (em x=0):
F_{2,1}=k\,\frac{(3q_{0})q_{0}}{a^2}
(para x>a).
– de Q (em x=d):
F_{2,Q}=k\,\frac{3q_{0}\,Q}{(a-d)^2}
(se Q>0, também aponta para x>a).
Equilíbrio em q_2:
F_{2,1}+F_{2,Q}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3q_{0}^2}{a^2}+\frac{3q_{0}\,Q}{(a-d)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad Q=-q_{0}\,\frac{(a-d)^2}{a^2}.

Passo 5

Igualando as duas expressões de Q:
-3q_{0}\,\frac{d^2}{a^2} =-q_{0}\,\frac{(a-d)^2}{a^2} \quad\Longrightarrow\quad 3d^2=(a-d)^2.
Resolvendo:
a-d=\pm\sqrt{3}\,d \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a-d=+\sqrt{3}\,d\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{a}{1+\sqrt{3}},\\[6pt] a-d=-\sqrt{3}\,d\quad\Rightarrow\quad d=-\dfrac{a}{\sqrt{3}-1}. \end{cases}]

Passo 6

Substituindo cada d em Q=-3q_{0}d^2/a^2, obtemos duas soluções:
  1. Para d=\dfrac{a}{1+\sqrt{3}}:
Q=-3q_{0}\,\frac{1}{(1+\sqrt{3})^2} =-\frac{3q_{0}}{4+2\sqrt{3}} \approx -0{,}402\,q_{0}.
  1. Para d=-\dfrac{a}{\sqrt{3}-1}:
Q=-3q_{0}\,\frac{1}{(\sqrt{3}-1)^2} =-\frac{3q_{0}}{4-2\sqrt{3}} \approx -5{,}598\,q_{0}.

Resposta

As posições possíveis de Q são:
x=d=\frac{a}{1+\sqrt{3}} \quad\text{com}\quad Q=-\frac{3q_{0}}{4+2\sqrt{3}} \approx -0{,}402\,q_{0},
ou
x=d=-\frac{a}{\sqrt{3}-1} \quad\text{com}\quad Q=-\frac{3q_{0}}{4-2\sqrt{3}} \approx -5{,}598\,q_{0}.

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