Calcule a integral
trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
trocando a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla e vamos precisar descrever a região de integração no plano
, inverter as integrais e depois calcular as integrais simples resultantes.
Passo 2
Descrição da região
:
Para trocar a ordem, fixamos
primeiro. Como
e
, obtemos
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, a integral fica
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Logo a integral reduz-se a
Passo 5
Para
, use a identidade de ângulo triplo
de modo que
Passo 6
Calcule
por partes duas vezes. O resultado é
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora
Multiplicando por
que tínhamos fora, a integral original vale