Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} x^{3} \sin ^{3} y d y d x trocando a ordem de integração.
\left(V=\frac{1}{12}(1-\cos (1)) \text { u.v. }\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{1} x^{3}\,\sin^{3}y\;dy\;dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla e vamos precisar descrever a região de integração no plano xy, inverter as integrais e depois calcular as integrais simples resultantes.

Passo 2

Descrição da região D:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le1\}.
Para trocar a ordem, fixamos y primeiro. Como x^{2}\le y\le1 e x\ge0, obtemos
0\le y\le1,\quad 0\le x\le\sqrt{y}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, a integral fica
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,\sin^{3}y\;dx\;dy.

Passo 4

Calcule a integral interna em x:
\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,dx =\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{y}} =\frac{(\sqrt{y})^{4}}{4} =\frac{y^{2}}{4}.
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{4}\,\sin^{3}y\;dy =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}y^{2}\,\sin^{3}y\;dy.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{1}y^{2}\sin^{3}y\,dy, use a identidade de ângulo triplo
\sin^{3}y =\frac{3\sin y-\sin(3y)}{4},
de modo que
\int_{0}^{1}y^{2}\sin^{3}y\,dy =\frac{1}{4}\Bigl(3\!\int_{0}^{1}y^{2}\sin y\,dy\;-\!\int_{0}^{1}y^{2}\sin(3y)\,dy\Bigr).

Passo 6

Calcule \displaystyle A(k)=\int_{0}^{1}y^{2}\sin(ky)\,dy por partes duas vezes. O resultado é
A(k) =-\frac{\cos(k)}{k} +\frac{2\,\sin(k)}{k^{2}} +\frac{2\bigl(\cos(k)-1\bigr)}{k^{3}}.
Para k=1:
A(1)=\cos(1)+2\sin(1)-2.
Para k=3:
A(3) =\frac{-7\cos(3)+6\sin(3)-2}{27}.

Passo 7

Agora
\int_{0}^{1}y^{2}\sin^{3}y\,dy =\frac{1}{4}\bigl(3A(1)-A(3)\bigr) =\frac{81\cos(1)+7\cos(3)+162\sin(1)-6\sin(3)-160}{108}.
Multiplicando por 1/4 que tínhamos fora, a integral original vale
\frac{1}{4}\int_{0}^{1}y^{2}\sin^{3}y\,dy =\frac{81\cos(1)+7\cos(3)+162\sin(1)-6\sin(3)-160}{432}.

Resposta

\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{1} x^{3}\,\sin^{3}y\;dy\;dx =\frac{81\cos(1)+7\cos(3)+162\sin(1)-6\sin(3)-160}{432}.

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