Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável ate 2^{\mathrm{a}} ordem e seja g dada por g(x)= f\left(x^{3}\right). Calcule g^{\prime \prime}(2), supondo que f^{\prime}(8)=3 e f^{\prime \prime}(8)=4.
Passo 1
O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^2 e define a composta g(x)=f(x^3). Pede-se g''(2), sabendo que f'(8)=3 e f''(8)=4. Vamos usar regra da cadeia e regra do produto para derivar.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, a primeira derivada é g'(x)=f'(x^3)\,\frac{d}{dx}(x^3)=f'(x^3)\cdot3x^2.
Passo 3
Para a segunda derivada, derivamos g'(x)=3x^2\,f'(x^3)
usando regra do produto e regra da cadeia: