Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável ate 2^{\mathrm{a}} ordem e seja g dada por g(x)= f\left(x^{3}\right). Calcule g^{\prime \prime}(2), supondo que f^{\prime}(8)=3 e f^{\prime \prime}(8)=4.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^2 e define a composta g(x)=f(x^3). Pede-se g''(2), sabendo que f'(8)=3 e f''(8)=4. Vamos usar regra da cadeia e regra do produto para derivar.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, a primeira derivada é g'(x)=f'(x^3)\,\frac{d}{dx}(x^3)=f'(x^3)\cdot3x^2.

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos g'(x)=3x^2\,f'(x^3)
usando regra do produto e regra da cadeia:
g''(x) =\underbrace{\frac{d}{dx}(3x^2)}_{6x}\,f'(x^3) +3x^2\,\underbrace{\frac{d}{dx}\bigl(f'(x^3)\bigr)}_{f''(x^3)\cdot3x^2} =6x\,f'(x^3)+9x^4\,f''(x^3).

Passo 4

Agora avaliamos em x=2. Como 2^3=8, temos
g''(2) =6\cdot2\;f'(8)+9\cdot2^4\;f''(8) =12\cdot3+9\cdot16\cdot4 =36+576 =612.

Resposta

g''(2)=612

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