Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=y \sin (x y), R=[1,2]^{*}[0, \pi].
(V=0 \text { u.v. })

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=y\sin(xy) sobre o retângulo
R = [1,2]\times[0,\pi].
Como f é contínua em R, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever
\iint_{R}y\sin(xy)\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi}\Bigl(\int_{1}^{2}y\sin(xy)\,dx\Bigr)dy.

Passo 2

Na integral interna, y é constante, então
\int_{1}^{2}y\sin(xy)\,dx =y\int_{1}^{2}\sin(xy)\,dx.
Usamos a primitiva de \sin(xy) em x:
\int\sin(xy)\,dx=-\frac{1}{y}\cos(xy),
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\int_{1}^{2}y\sin(xy)\,dx =y\Bigl[-\frac{1}{y}\cos(xy)\Bigr]_{x=1}^{x=2} =-\cos(2y)+\cos(y).

Passo 3

Substituindo no iterado, obtemos
\iint_{R}y\sin(xy)\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos(y)-\cos(2y)\bigr]\,dy.

Passo 4

Agora calculamos cada termo:
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy =\sin(y)\Big|_{0}^{\pi} =0,
\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy =\frac{1}{2}\sin(2y)\Big|_{0}^{\pi} =0.
Portanto,
\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos(y)-\cos(2y)\bigr]\,dy =0-0=0.

Resposta

0

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