Justificar todas as respostas. Não é permitido o uso de calculadoras.
Uma barra uniforme tem comprimento
, massa
, e está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura
acima do piso. Uma força horizontal
é aplicada na escada a uma distância d da base (medida ao longo da escada). Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é dado e igual a u. Determine
Para que valor de
(em função de L,M,h,d,u e g - a aceleração da gravidade) a base da escada está na iminência de se mover em direção à parede?
Uma barra uniforme tem comprimento
Para que valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra (ou escada) apoiada numa parede sem atrito e apoiada no chão. As informações que temos são o comprimento da barra $ L $, a massa $ M $, a altura $ h $ onde a barra toca a parede, a força horizontal $ F $ aplicada a uma distância $ d $ da base, o coeficiente de atrito estático $ \mu $, e a aceleração da gravidade $ g $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ F $ que faz a base da barra começar a deslizar em direção à parede. Para isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e torques.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama livre de forças da barra. Temos:
- O peso da barra, $ P = M \times g $, atuando no centro da barra.
- A força horizontal $ F $ aplicada a uma distância $ d $ da base.
- A força de reação na base, que tem componente horizontal $ R_x $ e vertical $ R_y $.
- A força de atrito $ f $ na base, que impede a barra de deslizar.
Como a barra está no equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero, e a soma dos torques (momentos) também deve ser zero.
Passo 3
Vamos estabelecer as equações de equilíbrio. Para as forças horizontais:
Isso nos diz que a força horizontal aplicada $ F $ é equilibrada pela reação horizontal $ R_x $ na base.
Para as forças verticais:
Onde $ P = M \times g $ é o peso da barra. Essa equação mostra que a força vertical na base $ R_y $ iguala o peso da barra.
Passo 4
Agora, vamos considerar os torques. Vamos calcular o torque em relação à base da barra para eliminar as reações na base das equações. O torque devido ao peso $ P $ atua a uma distância $ \frac{L}{2} \times \frac{h}{L} = \frac{h}{2} $ perpendicularmente à barra.
O torque devido à força $ F $ atua a uma distância $ d $ perpendicularmente à barra.
Como a barra está no equilíbrio, os torques no sentido horário e anti-horário se equilibram:
Substituindo $ P = M \times g $:
Passo 5
Agora, resolvemos para $ F $:
Esse é o valor da força $ F $ que faz a base da barra estar na iminência de se mover em direção à parede.
Resposta
A força necessária é: