(
pontos) - Considere uma esfera sólida de raio
carregada com uma distribuição de cargas não-homogênea. Assumindo que sua densidade volumétrica de cargas obedece a forma
, com
sendo uma posição radial no espaço, encontre expressões para o campo elétrico tanto na sua região interna
quanto externa
. Considere
uma constante arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o campo elétrico dentro e fora de uma esfera sólida de raio $ R $ que tem uma distribuição de carga não homogênea. A densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho = \alpha r $, onde $ r $ é a distância radial a partir do centro da esfera e $ \alpha $ é uma constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria esférica. Precisamos determinar o campo elétrico para duas situações: quando estamos dentro da esfera ($ r < R
r > R $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga $ \rho $. Ela nos diz quanta carga está presente em um volume pequeno dentro da esfera. No nosso caso, $ \rho = \alpha r $ indica que a densidade de carga aumenta linearmente com a distância ao centro.
Passo 3
Agora, vamos calcular a carga total $ Q_{total} $ dentro da esfera. Para isso, precisamos integrar a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é $ dV = 4\pi r^2 dr $. Então:
Integrando:
Passo 4
Agora que temos a carga total, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss diz que:
Onde $ Q_{enc} $ é a carga encerrada pela superfície gaussiana.
Passo 5
Primeiro, vamos considerar o caso quando $ r < R $ (dentro da esfera). A superfície gaussiana será uma esfera de raio $ r $ menor que $ R $. Precisamos encontrar a carga $ Q_{enc} $ dentro dessa esfera menor.
Usando a mesma lógica de integração para $ Q_{enc} $:
Passo 6
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 7
Agora, vamos considerar o caso quando $ r > R $ (fora da esfera). Aqui, a carga encerrada pela superfície gaussiana é a carga total $ Q_{total} = \pi \alpha R^4 $.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico $ \vec{E} $ é dado por: