( 2 , 0 pontos) - Considere uma esfera sólida de raio R carregada com uma distribuição de cargas não-homogênea. Assumindo que sua densidade volumétrica de cargas obedece a forma rho=alpha r, com r sendo uma posição radial no espaço, encontre expressões para o campo elétrico tanto na sua região interna (r quanto externa (r>R). Considere alpha uma constante arbitrária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o campo elétrico dentro e fora de uma esfera sólida de raio $ R $ que tem uma distribuição de carga não homogênea. A densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho = \alpha r $, onde $ r $ é a distância radial a partir do centro da esfera e $ \alpha $ é uma constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria esférica. Precisamos determinar o campo elétrico para duas situações: quando estamos dentro da esfera ($ r < R R r > R $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga $ \rho $. Ela nos diz quanta carga está presente em um volume pequeno dentro da esfera. No nosso caso, $ \rho = \alpha r $ indica que a densidade de carga aumenta linearmente com a distância ao centro.

Passo 3

Agora, vamos calcular a carga total $ Q_{total} $ dentro da esfera. Para isso, precisamos integrar a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é $ dV = 4\pi r^2 dr $. Então:
Qtotal
Integrando:
dV = 4pi r^2 dr

Passo 4

Agora que temos a carga total, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde $ Q_{enc} $ é a carga encerrada pela superfície gaussiana.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar o caso quando $ r < R $ (dentro da esfera). A superfície gaussiana será uma esfera de raio $ r $ menor que $ R $. Precisamos encontrar a carga $ Q_{enc} $ dentro dessa esfera menor.
Usando a mesma lógica de integração para $ Q_{enc} $:
r < R

Passo 6

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = pi alpha r^4varepsilon0
Resolvendo para $ E $:
E

Passo 7

Agora, vamos considerar o caso quando $ r > R $ (fora da esfera). Aqui, a carga encerrada pela superfície gaussiana é a carga total $ Q_{total} = \pi \alpha R^4 $.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
r > R
Resolvendo para $ E $:
Qtotal = pi alpha R^4

Resposta

O campo elétrico $ \vec{E} $ é dado por:
E

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