Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de
e
. A carga sobre a casca esférica interna é de
e sobre a casca esférica externa é de
. Determine o campo elétrico
em
em
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico no ponto situado a
de centros de duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas. Dados fornecidos:
Pergunta explícita: determinar o campo elétrico em
.
Passo 2
Principais propriedades físicas que vamos usar (explicação didática e necessária):
- Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Isso implica que qualquer carga líquida que esteja “dentro” do espaço do material condutor deve ser compensada por cargas na superfície interna do condutor.
- Toda casca esférica condutora carrega sua carga na superfície externa (no caso da casca interna a superfície externa desta casca; para a casca externa, existem superfície interna e externa).
- Para problemas com simetria esférica e uma superfície gaussiana esférica centrada, o campo elétrico tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Assim podemos aplicar a Lei de Gauss.
Breve lembrete da Lei de Gauss (fórmula e significado das letras):
onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área vetorial da superfície gaussiana,
é a carga total envolvida pela superfície e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Determinar como as cargas ficam distribuídas entre as superfícies das cascas (justificativa passo a passo):
- A casca interna tem carga
. Essa carga está na superfície externa da casca interna (pois é condutor). - A casca externa, por ser condutor, terá carga induzida na sua superfície interna tal que o campo dentro do metal da casca externa seja zero. Para anular o campo criado pela casca interna dentro do material da casca externa, a superfície interna da casca externa deve ter carga
.
Então a carga na superfície interna da casca externa é
- Como a carga total da casca externa é
, a carga restante vai para a superfície externa da casca externa. Assim:
Observação importante para o ponto pedido (
): esse ponto está entre as duas cascas (pois
), portanto aquelas cargas que estão em superfícies com raio maior que
não contribuem para a carga envolvida por uma superfície gaussiana de raio
. Logo, a única carga que fica “dentro” (no sentido de Gauss) é a carga da casca interna:
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio
centrada nas cascas:
- Pelo argumento de simetria, o campo é radial e de módulo constante sobre a gaussiana.
- A integral de superfície fica
. - Pela Lei de Gauss:
Isolando
:
Aqui
é a carga total envolvida pela superfície gaussiana de raio
. Como explicado no passo anterior, para
temos
.
Passo 5
Cálculo numérico (passo a passo, com conversão de unidades):
- Converter
para metros:
- Podemos usar a constante
. Assim a fórmula simplificada é
- Substituindo números:
- Calcule o numerador primeiro:
(Explicação:
e
, então
.)
- Calcule
:
- Dividindo:
- Arredondando mantendo três algarismos significativos (consistentes com dados):
Passo 6
Direção do campo: como a carga envolvida
é positiva, o campo é radialmente para fora. Então devemos indicar o sentido junto com o módulo.