Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de 2,00 \mathrm{~cm} e 3,00 \mathrm{~cm}. A carga sobre a casca esférica interna é de 4,00 \times 10^{-8} \mathrm{C} e sobre a casca esférica externa é de 6,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}. Determine o campo elétrico
em r=2,50 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no ponto situado a r=2,50\\ \mathrm{cm} de centros de duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas. Dados fornecidos:
\text{raio da casca interna} = 2,00\\ \mathrm{cm}
\text{raio da casca externa} = 3,00\\ \mathrm{cm}
\text{carga sobre a casca interna} = 4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
\text{carga sobre a casca externa (total)} = 6,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
Pergunta explícita: determinar o campo elétrico em r=2,50\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Principais propriedades físicas que vamos usar (explicação didática e necessária):
  • Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Isso implica que qualquer carga líquida que esteja “dentro” do espaço do material condutor deve ser compensada por cargas na superfície interna do condutor.
  • Toda casca esférica condutora carrega sua carga na superfície externa (no caso da casca interna a superfície externa desta casca; para a casca externa, existem superfície interna e externa).
  • Para problemas com simetria esférica e uma superfície gaussiana esférica centrada, o campo elétrico tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Assim podemos aplicar a Lei de Gauss.
Breve lembrete da Lei de Gauss (fórmula e significado das letras):
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície gaussiana, Q_{\text{int}} é a carga total envolvida pela superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Determinar como as cargas ficam distribuídas entre as superfícies das cascas (justificativa passo a passo):
  • A casca interna tem carga Q_{\text{interna}} = 4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}. Essa carga está na superfície externa da casca interna (pois é condutor).
  • A casca externa, por ser condutor, terá carga induzida na sua superfície interna tal que o campo dentro do metal da casca externa seja zero. Para anular o campo criado pela casca interna dentro do material da casca externa, a superfície interna da casca externa deve ter carga -Q_{\text{interna}}.
    Então a carga na superfície interna da casca externa é
Q_{\text{interna da externa}} = -4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
  • Como a carga total da casca externa é 6,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}, a carga restante vai para a superfície externa da casca externa. Assim:
Q_{\text{externa da externa}} = Q_{\text{total externa}} - Q_{\text{interna da externa}}
Q_{\text{externa da externa}} = 6,00\times10^{-8} - \bigl(-4,00\times10^{-8}\bigr) = 1,00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Observação importante para o ponto pedido ( r=2,50\\ \mathrm{cm}): esse ponto está entre as duas cascas (pois 2,00\\ \mathrm{cm}<2,50\\ \mathrm{cm}<3,00\\ \mathrm{cm}), portanto aquelas cargas que estão em superfícies com raio maior que 2,50\\ \mathrm{cm} não contribuem para a carga envolvida por uma superfície gaussiana de raio 2,50\\ \mathrm{cm}. Logo, a única carga que fica “dentro” (no sentido de Gauss) é a carga da casca interna: 4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r=2,50\\ \mathrm{cm} centrada nas cascas:
  • Pelo argumento de simetria, o campo é radial e de módulo constante sobre a gaussiana.
  • A integral de superfície fica E\cdot 4\pi r^2.
  • Pela Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Isolando E:
E = \frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Aqui Q_{\text{int}} é a carga total envolvida pela superfície gaussiana de raio r. Como explicado no passo anterior, para r=2,50\\ \mathrm{cm} temos Q_{\text{int}} = 4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo numérico (passo a passo, com conversão de unidades):
  • Converter r para metros:
r = 2,50\\ \mathrm{cm} = 0,0250\\ \mathrm{m}.
  • Podemos usar a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. Assim a fórmula simplificada é
E = k\,\frac{Q_{\text{int}}}{r^2}.
  • Substituindo números:
E = 8,988\times10^{9}\times\frac{4,00\times10^{-8}}{(0,0250)^2}.
  • Calcule o numerador primeiro:
8,988\times10^{9}\times 4,00\times10^{-8} = 359,52.
(Explicação: 8,988\times4,00 = 35,952 e 10^{9}\times10^{-8}=10^1, então 35,952\times10^1 = 359,52.)
  • Calcule r^2:
(0,0250)^2 = 0,000625.
  • Dividindo:
E = \frac{359,52}{0,000625} = 575\,232\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando mantendo três algarismos significativos (consistentes com dados):
E \approx 5,75\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Direção do campo: como a carga envolvida Q_{\text{int}}=4,00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} é positiva, o campo é radialmente para fora. Então devemos indicar o sentido junto com o módulo.

Resposta

E = 5,75\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}\quad\text{(radialmente para fora)}

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