4^{\mathrm{a}} QUESTÃO ( 2,0 pontos)

Dada a função booleana \mathbf{F}(\mathbf{a , b}, \mathbf{c}, \mathbf{d})=\sum(\mathbf{0}, \mathbf{3}, \mathbf{5}, \mathbf{1 0 , 1 1 , 1 5})+\mathbf{d}(\mathbf{2 , 7 , 8 , 1 3}) e utilizando o mapa de Veitch-Karnaugh, pede-se:
1- determine \mathrm{F}_{\text {min }} na forma de soma de produtos e sintetize o circuito correspondente com portas lógicas;
2- determine F na forma canônica conjuntiva normal.

Passo 1

O enunciado define
F(a,b,c,d)=\sum(0,3,5,10,11,15)\;+\;+d\,(2,7,8,13)
ou seja, os mintermos em que F=1 são 0,3,5,10,11,15 e temos ``don’t cares'' em 2,7,8,13.
Vamos usar o mapa de Karnaugh 4\times 4 (variáveis a,b nas linhas e c,d nas colunas em código Gray) para obter a forma mínima de soma de produtos e, em seguida, escrever F na forma canônica conjuntiva (produto de somas).

Passo 2

Ao preencher o mapa com 1 nos mintermos e X nos don’t cares e depois agrupar em potências de 2, encontramos três implicantes que cobrem todos os 1's usando também os X:
1. bloco de 4 células com b=0,\\ d=0 (contém 0,2( X), 8( X), 10) \to implicante b'd'.
2. bloco de 4 células com b=1,\\ d=1 (contém 5,7( X), 13( X), 15) \to implicante bd.
3. bloco de 4 células com b=0,\\ c=1 (contém 2( X), 3,10, 11) \to implicante b'c.

Passo 3

A forma mínima de soma de produtos é
F_{\min} \;=\; b'c \;+\; b'd' \;+\; bd.
Para sintetizar o circuito lógico:
1. Use inversores em b e em d para obter b' e d'.
2. Use três portas AND de duas entradas para formar os termos
\;b'\wedge c,\;b'\wedge d'\; e \;b\wedge d. 3. Una as saídas dessas ANDs em uma porta OR de três entradas, cuja saída é F_{\min}.

Passo 4

Para a forma canônica conjuntiva normal, listamos os índices onde F=0. Como o universo é \{0,\dots,15\}, os zeros ocorrem em
\{1,4,6,9,12,14\}.
O produto de maxtermos correspondente é
F = \prod M(1,4,6,9,12,14)
ou seja
F = (a + b + c + d')\,(a + b' + c + d)\,(a + b' + c' + d)\,(a' + b + c + d')\,(a' + b' + c + d)\,(a' + b' + c' + d).

Resposta

1) F_{\min} = b'c + b'd' + bd.
Circuito: inversores em b,d; três ANDs para (b'\wedge c),\,(b'\wedge d'),\,(b\wedge d); OR de três entradas na saída.
2) Forma canônica conjuntiva normal:
F = (a + b + c + d')\,(a + b' + c + d)\,(a + b' + c' + d)\,(a' + b + c + d')\,(a' + b' + c + d)\,(a' + b' + c' + d).

Exercícios relacionados