Uma força impulsiva F(t) atua durante um curto intervalo de tempo \Delta t sobre um corpo rígido que possui momento de inércia I e que está girando. Mostre que
\int \tau d t=\bar{F} R(\Delta t)=I\left(\omega_{f}-\omega_{i}\right)

Passo 1

O enunciado diz que uma força impulsiva F(t) age durante um intervalo curto \Delta t num corpo rígido de momento de inércia I, causando uma variação de sua velocidade angular de \omega_{i} para \omega_{f}. O conteúdo é o impulso de torque e a relação com a variação do momento angular. Para resolver, vamos usar que o torque é dado por \tau(t)=F(t)\,R (braço de alavanca constante R) e a 2ª lei de Newton para rotações, \tau=I\,\alpha, com \alpha=d\omega/dt.

Passo 2

Escrevemos o torque instantâneo e sua integral no tempo:
\tau(t)=F(t)\,R
\int \tau(t)\,dt =\int F(t)\,R\,dt =R\int F(t)\,dt.

Passo 3

Definimos a força média \bar{F} no intervalo \Delta t por
\bar{F}=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_i}^{t_f}F(t)\,dt,
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\int_{t_i}^{t_f}F(t)\,dt =\bar{F}\,\Delta t.

Passo 4

Substituindo na integral do torque,
\int_{t_i}^{t_f}\tau(t)\,dt =R\;\bar{F}\,\Delta t.
Esse é o impulso de torque sobre o corpo.

Passo 5

Pela 2ª lei de Newton para rotações, \tau=I\,\alpha com \alpha=d\omega/dt. Integrando de t_i a t_f,
\int_{t_i}^{t_f}\tau\,dt =I\int_{t_i}^{t_f}\frac{d\omega}{dt}\,dt =I\bigl[\omega(t_f)-\omega(t_i)\bigr] =I\bigl(\omega_{f}-\omega_{i}\bigr).

Resposta

\int \tau\,dt =\bar{F}\,R\,\Delta t =I\bigl(\omega_{f}-\omega_{i}\bigr).

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