Sendo dados r, p e \varphi, podemos calcular o momento angular de uma partícula aplicando a Eq. 12-26. Entretanto, às vezes temos, em vez’disso, as componentes ( x, y, z ) de \mathbf{r} e ( v_{x}, v_{y}, v_{z} ) de \mathbf{v}. (a) Mostre que as componentes de \ell ao longo dos eixos x, y e z são dadas por
\begin{aligned} & \ell_{x}=m\left(y v_{z}-z v_{y}\right), \\\ & \ell_{y}=m\left(z v_{x}-x v_{z}\right) \\\ & \ell_{z}=m\left(x v_{y}-y v_{x}\right) \end{aligned}
(b) Mostre que, se a partícula se mover apenas no plano x y, o vetor momento angular possuirá apenas a componente z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as componentes do momento angular \boldsymbol{\ell} de uma partícula de massa m cujas posições e velocidades são dadas pelas componentes (x,y,z) e (v_x,v_y,v_z). O conteúdo envolve o produto vetorial
\boldsymbol{\ell}=m\,\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{v}\bigr),
e depois analisar o caso em que o movimento ocorre apenas no plano xy.

Passo 2

Escrevemos os vetores
\mathbf{r}=(x,y,z), \qquad \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z).
Pelo produto vetorial em coordenadas cartesianas,
\mathbf{r}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\\ x&y&z\\\ v_x&v_y&v_z \end{vmatrix}.
Multiplicando por m, obtemos \boldsymbol{\ell}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

Passo 3

Calculamos o determinante componente a componente:
\ell_x =m\bigl(y\,v_z - z\,v_y\bigr),
\ell_y =m\bigl(z\,v_x - x\,v_z\bigr),
\ell_z =m\bigl(x\,v_y - y\,v_x\bigr).
Isso mostra exatamente as fórmulas pedidas em (a).

Passo 4

Para o movimento restrito ao plano xy, temos z=0 e v_z=0. Substituindo em cada componente:
\ell_x =m\bigl(y\cdot 0 - 0\cdot v_y\bigr)=0,
\ell_y =m\bigl(0\cdot v_x - x\cdot 0\bigr)=0,
\ell_z =m\bigl(x\,v_y - y\,v_x\bigr)\neq 0\\ (\text{em geral}).
Logo, \boldsymbol{\ell} tem apenas a componente z.

Resposta

(a)
\ell_x = m\bigl(y\,v_z - z\,v_y\bigr), \quad \ell_y = m\bigl(z\,v_x - x\,v_z\bigr), \quad \ell_z = m\bigl(x\,v_y - y\,v_x\bigr).
(b) Se o movimento está no plano xy z=0, v_z=0, então \ell_x=0, \ell_y=0 e \ell_z = m(x\,v_y - y\,v_x),
ou seja, só há componente em z.

Exercícios relacionados