Duas crianças, cada uma com massa M, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento L e massa também M. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal.
(a) Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a Ib=M L^2 / 12.
(b) Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
© Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular omega0 no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.
(d) Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de omega0 ?
(e) Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.

Respostas

(b) It=(7 / 12) M L^2
© L=(7 / 12) M L^2 omega0 vetor (d) omega=(14 / 5) omega0
(e) De

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma barra de comprimento e massa , pendurada pelo centro, e duas crianças (cada uma de massa ) sentadas nas extremidades da barra. A gente vai estudar:
  • Como calcular o momento de inércia (parte (a) e (b)),
  • Como usar conservação do momento angular pra achar a nova velocidade (parte © e (d)),
  • E como calcular a mudança na energia cinética (parte (e)).
    Pra isso, vamos precisar lembrar:
  1. Definição de momento de inércia (para corpos rígidos).
  2. Teorema dos eixos paralelos (aqui não muda muito, só soma pontos).
  3. Conservação do momento angular .
  4. Energia cinética rotacional .

Passo 2

Parte (a): momento de inércia da barra sozinha
  1. A barra é uniforme, densidade linear Ib=integral-L/2^L/2 x^2,lambda,dx =MLintegral-L/2^L/2x^2,dx =ML[x^33]-L/2^L/2 =MLcdot(L/2)^3-(-L/2)^33 =M L^212 .
  2. Escolhemos o eixo vertical passando pelo centro, cada pedaço à distância contribui com .
  3. Como ,

Passo 3

Parte (b): momento de inércia total (barra + crianças)
  1. Já temos It =Ib+2;Ml(L2r)^2 =M L^212+2;M L^24 =M L^212+M L^22 =712,M L^2 .
  2. Cada criança é ponto de massa a uma distância do centro, então cada uma adiciona .
  3. Soma total:

Passo 4

Parte ©: momento angular inicial
  1. Momento angular é L = It,omega0 =712M L^2,omega0, .
  2. Como gira com no sentido horário visto de cima, o vetor (e, portanto, ) aponta para baixo (eixo negativo).
  3. Então no sentido para baixo.

Passo 5

Parte (d): nova velocidade angular quando as crianças se aproximam
  1. Novas posições: cada criança vai pra I'=M L^212+2,Ml(L4r)^2 =M L^212+M L^28 =524,M L^2 .
  2. Novo momento de inércia omega =ItI',omega0 =tfrac712M L^2tfrac524M L^2,omega0 =7/125/24,omega0 =145,omega0
  3. Conservação de : .
  4. Resolve pra :

Passo 6

Parte (e): variação da energia cinética
  1. Energia inicial Ki=tfrac12,It,omega0^2 =tfrac12cdot712M L^2,omega0^2 =724M L^2,omega0^2
  2. Energia final Kf=tfrac12,I',omega^2 =tfrac12cdot524M L^2l(145omega0r)^2 =4960M L^2,omega0^2
  3. Diferença De

Resposta

(a)
(b)
© , vetor apontando para baixo
(d)
(e)

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