Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal.
(a) Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a
.
(b) Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
© Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular
no sentido horário (visto de cima). Indique o sentido do vetor momento angular.
(d) Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de
?
(e) Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.
Respostas
(b)
©
vetor (d)
(e)
(a) Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a
(b) Determine o momento de inércia da barra juntamente com as crianças em relação ao mesmo eixo.
© Determine o momento angular do sistema se ele estiver girando com uma velocidade angular
(d) Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de
(e) Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.
©
(e)
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma barra de comprimento
e massa
, pendurada pelo centro, e duas crianças (cada uma de massa
) sentadas nas extremidades da barra. A gente vai estudar:
- Como calcular o momento de inércia (parte (a) e (b)),
- Como usar conservação do momento angular pra achar a nova velocidade (parte © e (d)),
- E como calcular a mudança na energia cinética (parte (e)).
Pra isso, vamos precisar lembrar:
- Definição de momento de inércia
(para corpos rígidos). - Teorema dos eixos paralelos (aqui não muda muito, só soma pontos).
- Conservação do momento angular
. - Energia cinética rotacional
.
Passo 2
Parte (a): momento de inércia da barra sozinha
- A barra é uniforme, densidade linear
. - Escolhemos o eixo vertical passando pelo centro, cada pedaço à distância
contribui com . - Como
,
Passo 3
Parte (b): momento de inércia total (barra + crianças)
- Já temos
. - Cada criança é ponto de massa
a uma distância do centro, então cada uma adiciona . - Soma total:
Passo 4
Parte ©: momento angular inicial
- Momento angular é
. - Como gira com
no sentido horário visto de cima, o vetor (e, portanto, ) aponta para baixo (eixo negativo). - Então
no sentido para baixo.
Passo 5
Parte (d): nova velocidade angular quando as crianças se aproximam
- Novas posições: cada criança vai pra
. - Novo momento de inércia
- Conservação de
: . - Resolve pra
:
Passo 6
Parte (e): variação da energia cinética
- Energia inicial
- Energia final
- Diferença
Resposta
(a)
(b)
© , vetor apontando para baixo
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)