Duas crianças, uma de massa m e outra de massa 2m/3 estão, uma de cada lado de uma gangorra, distribuídas de tal forma, que permite a gangorra ficar estática na horizontal. Qual deve ser a razão entre as distâncias da criança que está à esquerda (x1) e da criança que está à direita (x2) do ponto de apoio?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre gangorras! A gente tem duas crianças com massas diferentes em cada lado da gangorra, e ela está equilibrada na horizontal. Primeiro, vamos identificar o que precisamos: descobrir a razão entre as distâncias das crianças em relação ao ponto de apoio, ou seja, x₁ (à esquerda) e x₂ (à direita). Para isso, vamos usar o conceito de Torque e Equilíbrio de Torques.
Passo 2
Vamos lembrar que Torque é uma força que provoca rotação. No caso da gangorra, cada criança exerce um torque que depende da sua massa e da distância até o ponto de apoio. A fórmula do torque (τ) é:
onde:
- $ m $ é a massa da criança,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ d $ é a distância até o ponto de apoio.
Passo 3
Como a gangorra está estática, os torques das duas crianças devem se equilibrar, ou seja, o torque da criança da esquerda deve ser igual ao torque da criança da direita:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação. Primeiro, o $ g $ aparece em ambos os lados, então a gente pode dividir os dois lados por $ g $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar mais. O $ m $ também está presente em ambos os lados, então podemos dividir por $ m $:
Passo 6
Para encontrar a razão $ \frac{x_1}{x_2} $, basta dividir os dois lados da equação por $ x_2 $:
Resposta
A razão entre x₁ e x₂ é $ \frac{2}{3} $.