Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções. Com base nesta definição, classifique os pares de desigualdades abaixo.
x^{2}>1 e 1+\frac{2}{x-1}>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as desigualdades
x^2 > 1
e
1 + \frac{2}{x-1} > 0
têm o mesmo conjunto de soluções (ou seja, se são equivalentes). Para isso, vamos resolver cada uma separadamente: a primeira é uma desigualdade quadrática e a segunda é uma desigualdade racional.

Passo 2

Resolver x^2>1.
Reescrevendo em fatoração:
x^2>1 \iff (x-1)(x+1)>0.
Uma desigualdade do tipo (x-1)(x+1)>0 é satisfeita quando os fatores têm o mesmo sinal, o que ocorre em
x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Logo, o conjunto solução da primeira é
S_1 = (-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Resolver 1+\frac{2}{x-1}>0.
Primeiro, somamos em um só quociente:
1+\frac{2}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = \frac{x+1}{x-1}.
Então a desigualdade fica
\frac{x+1}{x-1}>0.
Os pontos críticos são x=-1 (zero do numerador) e x=1 (denominador zero, proibido). Fazendo o quadro de sinais, vemos que a fração é positiva em
(-\infty,-1)\quad\text{e}\quad(1,\infty),
excluindo x=1 e x=-1 (já que é “>0”). Portanto, o conjunto solução da segunda é
S_2 = (-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Comparando S_1 e S_2, percebemos que
S_1 = (-\infty,-1)\cup(1,\infty) \quad\text{e}\quad S_2 = (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Como os conjuntos são idênticos, as desigualdades são equivalentes.

Resposta

As desigualdades são equivalentes.

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