Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções. Com base nesta definição, classifique os pares de desigualdades abaixo.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as desigualdades
e
têm o mesmo conjunto de soluções (ou seja, se são equivalentes). Para isso, vamos resolver cada uma separadamente: a primeira é uma desigualdade quadrática e a segunda é uma desigualdade racional.
Passo 2
Resolver
.
Reescrevendo em fatoração:
Reescrevendo em fatoração:
Uma desigualdade do tipo
é satisfeita quando os fatores têm o mesmo sinal, o que ocorre em
Logo, o conjunto solução da primeira é
Passo 3
Resolver
.
Primeiro, somamos em um só quociente:
Primeiro, somamos em um só quociente:
Então a desigualdade fica
Os pontos críticos são
(zero do numerador) e
(denominador zero, proibido). Fazendo o quadro de sinais, vemos que a fração é positiva em
excluindo
e
(já que é “>0”). Portanto, o conjunto solução da segunda é
Passo 4
Comparando
e
, percebemos que
Como os conjuntos são idênticos, as desigualdades são equivalentes.
Resposta
As desigualdades são equivalentes.