Resolva as Desigualdades.
\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}-3 x+2\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(x^{2}-4)\,(x^{2}-3x+2)\le 0.
O conteúdo aqui é análise de sinal de polinômio: vamos fatorar cada parte e estudar onde o produto é negativo ou nulo.

Passo 2

Primeiro fatoramos cada quadrático:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Logo a expressão vira
(x^{2}-4)(x^{2}-3x+2)=(x-2)^{2}(x-1)(x+2).

Passo 3

Os zeros da expressão são as raízes dos fatores:
\,x=2 (multiplicidade 2), \,x=1 e \,x=-2.
Nesses pontos o produto vale zero.

Passo 4

Para ver onde o produto é negativo fazemos o estudo de sinal de (x-2)^{2}(x-1)(x+2).
\bullet (x-2)^{2} é sempre não negativo e só zera em x=2, mas não muda de sinal.
\bullet O sinal de (x-1)(x+2) é negativo se e somente se x está entre -2 e 1.
Portanto o produto é
– positivo para x<-2,
– zero em x=-2,
– negativo em -2<x<1,
– zero em x=1,
– positivo em 1<x<2,
– zero em x=2,
– positivo para x>2.

Passo 5

Como queremos \le0, incluímos as regiões onde o produto é negativo ou zero, isto é
-2\le x\le1
e também o ponto x=2.

Resposta

x\in[-2,1]\cup\{2\}.

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