Questão 1 (2 pts) Seja \mathcal{R} a região que contém o ponto (0,2) e é delimitada pelas curvas
y=1 \quad \text { e } \quad x^{2}+y^{2}=4
Faça um esboço de \mathcal{R} e calcule a sua área utilizando necessariamente o cálculo integral.

Passo 1

O enunciado pede a área da região \mathcal{R} que contém o ponto (0,2) e é limitada pela reta
y=1
e pelo círculo
x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração dupla ou, de modo mais simples, por integral em x da diferença entre as curvas superior e inferior.

Passo 2

Primeiro localizamos os pontos de interseção entre a reta e o círculo, resolvendo
x^{2}+1^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
O esboço de \mathcal{R} é o segmento circular “acima” da reta y=1 e “dentro” do semicírculo superior de raio 2. Em outras palavras, sobre -\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}, a fronteira superior é
y=\sqrt{4-x^{2}}
e a fronteira inferior é y=1.

Passo 3

A área de \mathcal{R} é
\text{Área} =\int_{x=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\bigl(\sqrt{4-x^{2}}-1\bigr)\,dx =\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^{2}}\,dx \;-\;\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}1\,dx.Á

Passo 4

Usamos a primitiva
\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}+\frac{4}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr),
avaliada de -\sqrt{3} a \sqrt{3}. Fazendo as contas, obtém-se
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^{2}}\,dx =\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3},
e
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}1\,dx =2\sqrt{3}.
Logo
\text{Área} =\Bigl(\sqrt{3}+\tfrac{4\pi}{3}\Bigr)-2\sqrt{3} =\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}.Á

Resposta

A área da região \mathcal{R} é
\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}.

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