Resolva os sistemas de inequações.
\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}-4 x-3<0 \\\\ 1 / x^{2} \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de inequações \r
\begin{cases}\r 4x^{2}-4x-3<0,\\\ \dfrac{1}{x^{2}}\geq 1.\r \end{cases} \r
Aqui vamos aplicar análise de sinais em cada inequação e depois intersectar as soluções obtidas.

Passo 2

Para resolver \r
\;4x^{2}-4x-3<0, \r
determinamos as raízes da equação associada \r
\;4x^{2}-4x-3=0. \r
O discriminante é \r
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64, \r
logo as raízes são \r
\;x=\frac{4\pm8}{8}\;\Longrightarrow\;x=-\tfrac12\quad\text{e}\quad x=\tfrac32. \r
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação é satisfeita entre as raízes. \r
Solução da primeira: \r
\;x\in\bigl(-\tfrac12,\tfrac32\bigr).

Passo 3

Agora a segunda inequação \r
\;\frac{1}{x^{2}}\geq 1 \r
é equivalente a \r
\;\frac{1-x^{2}}{x^{2}}\geq0. \r
Os zeros do numerador ocorrem em x=\pm1, e o denominador exige x\neq0. \r
Analisando o sinal: \r
  • Para |x|<1, tem-se 1-x^{2}>0 e x^{2}>0, logo a fração é positiva. \r
  • Para |x|>1, tem-se 1-x^{2}<0 e x^{2}>0, logo a fração é negativa. \r
    Em x=\pm1 a desigualdade vale com igualdade. \r
    Solução da segunda: \r
\;x\in[-1,1]\setminus\{0\}.

Passo 4

A solução do sistema é a interseção \r
\;(-\tfrac12,\tfrac32)\;\cap\;([-1,1]\setminus\{0\}). \r
Observe que (-\tfrac12,\tfrac32)\cap[-1,1]=(-\tfrac12,1], e ainda excluímos 0. \r
Logo a solução final é \r
\;x\in\bigl(-\tfrac12,0\bigr)\;\cup\;\bigl(0,1\bigr].

Resposta

\displaystyle x\in\bigl(-\tfrac12,0\bigr)\cup\bigl(0,1\bigr].

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