Duas embarcações pequenas colidem elasticamente. Barco A ( 100 kg ) move-se a
e barco B ( 150 kg ) está parado. Determine as velocidades após a colisão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
- Massa do barco A:
. - Massa do barco B:
. - Velocidade inicial do barco A:
. - Velocidade inicial do barco B:
(está parado). - Colisão é elástica (isto é, energia cinética total é conservada).
- Massa do barco A:
- Pedido:
- Determinar as velocidades finais dos dois barcos após a colisão:
e .
- Determinar as velocidades finais dos dois barcos após a colisão:
Observação: tomo como positivo o sentido do movimento inicial do barco A (então
).
Passo 2
Relembrando as leis que valem numa colisão elástica unidimensional (essas são a base para resolver no tempo da prova):
- Conservação da quantidade de movimento (momentum):
Aqui cada termo é massa vezes velocidade; é uma equação escalar em 1D.
- Conservação da energia cinética:
Para uma colisão perfeitamente elástica, a soma das energias cinéticas antes e depois é a mesma.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas
e
.
Passo 3
Uma forma prática (muito usada em provas) de simplificar a solução é usar a propriedade da colisão elástica em 1D: a velocidade relativa se inverte. Em outras palavras vale a relação
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade (derivação curta, útil para prova):
- Da conservação do momentum segue
- Da conservação da energia (multiplicando por 2) segue
- Fatorando as diferenças de quadrados:
- Substituindo
por (da primeira equação) e cancelando o fator comum (não nulo se houve interação), obtemos
- Rearranjando,
Essa é a relação de inversão da velocidade relativa; é muito útil porque é uma equação linear simples.
Passo 4
Agora aplico as equações aos números do problema.
Primeiro a relação de inversão da velocidade relativa com os valores iniciais:
portanto
Escrevendo de forma útil para eliminar uma incógnita:
Passo 5
Agora escrevo a conservação do momentum com os números:
Substituindo
,
,
,
:
Ou seja
Passo 6
Substituo
da equação do Passo 4 na equação do Passo 5:
Como
, então
Faço as contas passo a passo:
Logo
Simplificando a fração:
Portanto
Passo 7
Agora encontro
usando
:
O sinal negativo indica que o barco A inverteu o sentido do movimento (foi rebatido), movendo-se na direção oposta à original com velocidade
.
Passo 8
Cheque rápido (sanidade): verifico conservação de energia num cálculo mental simples para confirmar coerência (não obrigatório na prova se confia nos passos, mas bom para checar erros aritméticos).
Energia inicial:
Energia final:
Calculo:
Confere:
. Está consistente.