Duas embarcações pequenas colidem elasticamente. Barco A ( 100 kg ) move-se a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e barco B ( 150 kg ) está parado. Determine as velocidades após a colisão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Massa do barco A: m_A = 100\\ \mathrm{kg}.
    • Massa do barco B: m_B = 150\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial do barco A: u_A = 4\\ \mathrm{m/s}.
    • Velocidade inicial do barco B: u_B = 0\\ \mathrm{m/s} (está parado).
    • Colisão é elástica (isto é, energia cinética total é conservada).
  • Pedido:
    • Determinar as velocidades finais dos dois barcos após a colisão: v_A e v_B.
Observação: tomo como positivo o sentido do movimento inicial do barco A (então u_A=+4\\ \mathrm{m/s}).

Passo 2

Relembrando as leis que valem numa colisão elástica unidimensional (essas são a base para resolver no tempo da prova):
  1. Conservação da quantidade de movimento (momentum):
m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B.
Aqui cada termo é massa vezes velocidade; é uma equação escalar em 1D.
  1. Conservação da energia cinética:
\frac{1}{2}m_A u_A^{2} + \frac{1}{2}m_B u_B^{2} = \frac{1}{2}m_A v_A^{2} + \frac{1}{2}m_B v_B^{2}.
Para uma colisão perfeitamente elástica, a soma das energias cinéticas antes e depois é a mesma.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas v_A e v_B.

Passo 3

Uma forma prática (muito usada em provas) de simplificar a solução é usar a propriedade da colisão elástica em 1D: a velocidade relativa se inverte. Em outras palavras vale a relação
u_A - u_B = -(v_A - v_B).
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade (derivação curta, útil para prova):
  • Da conservação do momentum segue
m_A(u_A - v_A) = m_B(v_B - u_B).
  • Da conservação da energia (multiplicando por 2) segue
m_A(u_A^{2} - v_A^{2}) = m_B(v_B^{2} - u_B^{2}).
  • Fatorando as diferenças de quadrados:
m_A(u_A - v_A)(u_A + v_A) = m_B(v_B - u_B)(v_B + u_B).
  • Substituindo m_B(v_B - u_B) por m_A(u_A - v_A) (da primeira equação) e cancelando o fator comum m_A(u_A - v_A) (não nulo se houve interação), obtemos
u_A + v_A = v_B + u_B.
  • Rearranjando,
u_A - u_B = -(v_A - v_B).
Essa é a relação de inversão da velocidade relativa; é muito útil porque é uma equação linear simples.

Passo 4

Agora aplico as equações aos números do problema.
Primeiro a relação de inversão da velocidade relativa com os valores iniciais:
u_A - u_B = 4 - 0 = 4,
portanto
v_A - v_B = -4.
Escrevendo de forma útil para eliminar uma incógnita:
v_A = v_B - 4.

Passo 5

Agora escrevo a conservação do momentum com os números:
m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B.
Substituindo m_A=100, u_A=4, m_B=150, u_B=0:
100\cdot 4 + 150\cdot 0 = 100\,v_A + 150\,v_B.
Ou seja
400 = 100\,v_A + 150\,v_B.

Passo 6

Substituo v_A da equação do Passo 4 na equação do Passo 5:
Como v_A = v_B - 4, então
400 = 100\,(v_B - 4) + 150\,v_B.
Faço as contas passo a passo:
400 = 100\,v_B - 400 + 150\,v_B,
400 = 250\,v_B - 400,
400 + 400 = 250\,v_B,
800 = 250\,v_B.
Logo
v_B = \frac{800}{250} = \frac{800}{250}.
Simplificando a fração:
\frac{800}{250} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5} = 3{,}2.
Portanto
v_B = 3{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora encontro v_A usando v_A = v_B - 4:
v_A = 3{,}2 - 4 = -0{,}8\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que o barco A inverteu o sentido do movimento (foi rebatido), movendo-se na direção oposta à original com velocidade 0{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Cheque rápido (sanidade): verifico conservação de energia num cálculo mental simples para confirmar coerência (não obrigatório na prova se confia nos passos, mas bom para checar erros aritméticos).
Energia inicial:
E_i=\tfrac{1}{2}m_A u_A^{2}+\tfrac{1}{2}m_B u_B^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot 4^{2} + 0 = 50\cdot16 = 800\\ \mathrm{J}.
Energia final:
E_f=\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot(-0{,}8)^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot150\cdot(3{,}2)^{2}.
Calculo:
\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot0{,}64 = 50\cdot0{,}64 = 32\\ \mathrm{J},
\tfrac{1}{2}\cdot150\cdot10{,}24 = 75\cdot10{,}24 = 768\\ \mathrm{J},
E_f = 32 + 768 = 800\\ \mathrm{J}.
Confere: E_i=E_f. Está consistente.

Resposta

v_A = -0,8\\ \mathrm{m/s}
v_B = 3,2\\ \mathrm{m/s}

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