Um projétil de massa 0,1 \mathrm{~kg} penetra uma placa de madeira e sai com metade da velocidade inicial. Se o tempo de interação é 0,003 s, determine a força média de resistência.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Massa do projétil: m=0{,}1\\ \mathrm{kg}.
  • O projétil sai da placa com metade da velocidade inicial: se a velocidade inicial é v_0, a velocidade final é v_f=\dfrac{v_0}{2}.
  • Tempo de interação (duração do contato): \Delta t=0{,}003\\ \mathrm{s}.
  • O que pede: a força média de resistência exercida pela placa sobre o projétil durante esse intervalo de tempo.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida por \vec{p}=m\vec{v}. Aqui \vec{p} é o vetor quantidade de movimento, m é a massa e \vec{v} é a velocidade.
  • O teorema do impulso-impulso-momento diz que a variação da quantidade de movimento é igual ao impulso da força resultante durante o intervalo de tempo:
\vec{F}_{\mathrm{méd}}\,\Delta t=\Delta\vec{p}.é
  • Neste contexto \vec{F}_{\mathrm{méd}}é é a força média (vetor) aplicada pela placa sobre o projétil durante o intervalo \Delta t, e \Delta\vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p}_0=m\vec{v}_f-m\vec{v}_0.
  • Escolhe-se a direção do movimento como positiva. Com isso, sinais ficarão claros: se a velocidade diminui, \Delta\vec{p} será negativa e a força média apontará no sentido oposto ao movimento (resistência).

Passo 3

Calcular a variação de quantidade de movimento:
\Delta\vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_0=m\!\left(\dfrac{v_0}{2}-v_0\right)=m\!\left(-\dfrac{v_0}{2}\right)=-\dfrac{m v_0}{2}.
Isto diz que a quantidade de movimento diminuiu em \dfrac{m v_0}{2} na direção do movimento, ou seja houve um impulso negativo (força contrária ao movimento).

Passo 4

Isolar a força média usando \vec{F}_{\mathrm{méd}}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}é:
\vec{F}_{\mathrm{méd}}=-\dfrac{m v_0}{2\,\Delta t}.é
Explicando as variáveis nesta fórmula:
  • \vec{F}_{\mathrm{méd}}é é a força média (vetor) durante o contato;
  • m é a massa do projétil ( 0{,}1\\ \mathrm{kg});
  • v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s});
  • \Delta t é o tempo de interação ( 0{,}003\\ \mathrm{s}).
    Substituindo m e \Delta t:
\vec{F}_{\mathrm{méd}}=-\dfrac{0{,}1\,v_0}{2\cdot0{,}003}=-\dfrac{0{,}1}{0{,}006}\,v_0=-\dfrac{50}{3}\,v_0\\ \mathrm{N}.é
Assim, numericamente, \vec{F}_{\mathrm{méd}} \approx -16{,}666\ldots\,v_0\\ \mathrm{N}é, onde v_0 está em \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação final e exemplo prático:
  • O sinal negativo indica que a força média é dirigida contra o movimento (força de resistência).
  • A magnitude da força média de resistência é \dfrac{50}{3}\,v_0\\ \mathrm{N}.
  • Exemplo para fixar: se v_0=600\\ \mathrm{m/s} (velocidade típica de projétil), então
\vec{F}_{\mathrm{méd}}=-\dfrac{50}{3}\cdot600\\ \mathrm{N}=-10000\\ \mathrm{N}.é
Ou seja, a placa teria exercido em média 10000\\ \mathrm{N} contra o projétil naquele exemplo. Você pode trocar v_0 pelo valor que tiver para obter a força média correspondente.

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{\mathrm{méd}}=-\dfrac{50}{3}\,v_0\\ \mathrm{N}é

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