O valor do uso de uma rede de carregadores elétricos é dado por V(N)=10 \sqrt{N}, e o custo médio de instalação é C(N)=5 N.
Determine o nível ótimo de investimento considerando a externalidade de rede.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • O valor do uso da rede de carregadores elétricos é V(N)=10\sqrt{N}.
  • O custo médio de instalação é C(N)=5N.
    O que se pede: determinar o nível ótimo de investimento N “considerando a externalidade de rede”. Vou adotar a interpretação natural para esse tipo de problema: V(N) representa o benefício total (valor agregado) gerado pela rede quando há N unidades (ou carregadores) e C(N) representa o custo total associado a N. Com essa interpretação, o nível ótimo social é o N que maximiza o excedente social (benefício total menos custo total).

Passo 2

Ideia de solução (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Queremos maximizar o excedente social \;S(N)=V(N)-C(N)\;.
  • Para encontrar o ponto ótimo interior (se existir), usamos análise marginal: o ótimo interno ocorre quando a derivada do excedente em relação a N é zero, isto é, quando a margem do benefício iguala a margem do custo.
  • Definições importantes:
    • Marginal do benefício (ou valor marginal): \;MB(N)=\dfrac{dV}{dN}\;. Isso diz quanto o benefício total aumenta se eu incrementar N por uma unidade infinitesimal.
    • Marginal do custo (ou custo marginal): \;MC(N)=\dfrac{dC}{dN}\;. Isso diz quanto o custo total aumenta se eu incrementar N por uma unidade infinitesimal.
  • Condição de ótimo (primeira ordem): \;MB(N)=MC(N).
  • Depois de achar a candidata N, verificamos a condição de segunda ordem (concavidade) para assegurar que é máximo: checar o sinal de \dfrac{d^2S}{dN^2} = V''(N)-C''(N).

Passo 3

Calcular as derivadas (marginais) explicitamente.
  • Derivada de V(N)=10\sqrt{N}. Escrever \sqrt{N}=N^{1/2}, então:
V'(N)=\frac{d}{dN}\bigl(10N^{1/2}\bigr)=10\cdot\frac{1}{2}N^{-1/2}=\frac{5}{\sqrt{N}}.
Portanto \;MB(N)=\dfrac{5}{\sqrt{N}}.
  • Derivada de C(N)=5N:
C'(N)=\frac{d}{dN}(5N)=5.
Portanto \;MC(N)=5.

Passo 4

Impor a condição de ótimo (igualar marginais) e resolver para N.
MB(N)=MC(N)\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{\sqrt{N}}=5.
Dividindo ambos os lados por 5:
\frac{1}{\sqrt{N}}=1.
Então \sqrt{N}=1, e elevando ao quadrado:
N=1.

Passo 5

Verificação da condição de segunda ordem (garantir que é máximo).
  • Calcular V''(N):
V''(N)=\frac{d}{dN}\!\left(\frac{5}{\sqrt{N}}\right)=\frac{d}{dN}\!\left(5N^{-1/2}\right)=5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)N^{-3/2}=-\frac{5}{2}N^{-3/2}.
  • Calcular C''(N)=\dfrac{d}{dN}(5)=0.
  • Então
S''(N)=V''(N)-C''(N)=-\frac{5}{2}N^{-3/2}.
Para N>0 isso é negativo, logo S(N) é localmente estritamente côncava e o ponto crítico encontrado é um máximo local. Como as funções dadas são bem comportadas nesse domínio, concluímos que é o máximo global relevante.

Passo 6

Interpretação econômica e cálculo do excedente no ótimo.
  • No ponto ótimo N=1 a margem do benefício iguala a margem do custo e vale 5.
  • Valores numéricos:
V(1)=10\sqrt{1}=10,\qquad C(1)=5\cdot 1=5,
portanto o excedente social é S(1)=V(1)-C(1)=10-5=5.

Resposta

N=1

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