O valor do uso de uma rede de carregadores elétricos é dado por
, e o custo médio de instalação é
.
Determine o nível ótimo de investimento considerando a externalidade de rede.
Determine o nível ótimo de investimento considerando a externalidade de rede.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- O valor do uso da rede de carregadores elétricos é
. - O custo médio de instalação é
.
O que se pede: determinar o nível ótimo de investimento“considerando a externalidade de rede”. Vou adotar a interpretação natural para esse tipo de problema: representa o benefício total (valor agregado) gerado pela rede quando há unidades (ou carregadores) e representa o custo total associado a . Com essa interpretação, o nível ótimo social é o que maximiza o excedente social (benefício total menos custo total).
Passo 2
Ideia de solução (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Queremos maximizar o excedente social
. - Para encontrar o ponto ótimo interior (se existir), usamos análise marginal: o ótimo interno ocorre quando a derivada do excedente em relação a
é zero, isto é, quando a margem do benefício iguala a margem do custo. - Definições importantes:
- Marginal do benefício (ou valor marginal):
. Isso diz quanto o benefício total aumenta se eu incrementar por uma unidade infinitesimal. - Marginal do custo (ou custo marginal):
. Isso diz quanto o custo total aumenta se eu incrementar por uma unidade infinitesimal.
- Marginal do benefício (ou valor marginal):
- Condição de ótimo (primeira ordem):
. - Depois de achar a candidata
, verificamos a condição de segunda ordem (concavidade) para assegurar que é máximo: checar o sinal de .
Passo 3
Calcular as derivadas (marginais) explicitamente.
- Derivada de
. Escrever , então:
Portanto
.
- Derivada de
:
Portanto
.
Passo 4
Impor a condição de ótimo (igualar marginais) e resolver para
.
Dividindo ambos os lados por
:
Então
, e elevando ao quadrado:
Passo 5
Verificação da condição de segunda ordem (garantir que é máximo).
- Calcular
:
- Calcular
. - Então
Para
isso é negativo, logo
é localmente estritamente côncava e o ponto crítico encontrado é um máximo local. Como as funções dadas são bem comportadas nesse domínio, concluímos que é o máximo global relevante.
Passo 6
Interpretação econômica e cálculo do excedente no ótimo.
- No ponto ótimo
a margem do benefício iguala a margem do custo e vale . - Valores numéricos:
portanto o excedente social é
.