Duas empresas do mercado de pequenos reparos domésticos determinam o valor de seus serviços a partir de um valor fixo acrescido de um valor cobrado por hora. A empresa
cobra
60,00 de valor fixo mais
18,00
24,00 de valor fixo e está definindo um novo valor a ser cobrado por hora. Sua estratégia de mercado prevê que, em relação à empresa
, o custo total do serviço deve ser menor ou igual para trabalhos de até duas horas de duração.
Passo 1
O enunciado dá duas empresas com preços formados por um valor fixo mais um valor por hora. Ele pede que a empresa
escolha um novo valor por hora tal que, em relação à empresa
, o custo total de
seja menor ou igual para trabalhos de até duas horas. Informações dadas:
Condição exigida pelo enunciado: para todo tempo de serviço
com
, o custo total de
deve ser menor ou igual ao custo total de
.
Passo 2
Vamos escrever as expressões dos custos totais em função do tempo
.
A condição “o custo total de
deve ser menor ou igual ao de
para trabalhos de até duas horas” vira a desigualdade, que deve valer para todo
:
Passo 3
Subtraio
dos dois lados para trabalhar com a diferença entre os custos. Definimos a função diferença
Queremos
para todo
. Note que
é uma função afim (linear) de
: tem forma
com
e
.
Passo 4
Propriedade importante (explicando devagar): uma função afim
é monotônica em todo o intervalo; portanto seu valor mínimo num intervalo fechado
ocorre em uma das extremidades
ou
. Assim, para garantir
para todo
basta garantir que
e
, mas na prática basta analisar a inclinação
para ver qual extremidade dá o mínimo.
Passo 5
Analiso casos conforme o sinal da inclinação
.
Caso 1:
(ou seja
). A função
cresce com
, então o mínimo em
ocorre em
. Calculamos
que é positivo. Portanto, se
, temos
para todo
e a condição do enunciado é satisfeita. Intuição: se
, a taxa por hora de
é menor que a de
, então
será mais barata em qualquer duração.
Passo 6
Caso 2:
(ou seja
). Então
é constante e positiva em todo o intervalo, logo a condição é satisfeita. Intuição: mesmo valor por hora, mas
tem fixo menor, então sempre mais barato.
Passo 7
Caso 3:
(ou seja
). Agora
decresce com
, então o mínimo em
ocorre em
. Exigimos
Faço as contas passo a passo:
A desigualdade
é equivalente a
Portanto, quando
a condição é satisfeita somente se
. Em resumo, para
a desigualdade vale para todo
.
Passo 8
Uno os três casos para obter a solução completa. Dos casos anteriores:
- para
funciona; - para
funciona; - para
funciona; - para
falha (por exemplo, se então , ou seja em a empresa sairia mais cara).
Logo a condição "para trabalhos de até duas horas o custo dedeve ser menor ou igual ao de " é satisfeita exatamente quando
Passo 9
Comentário prático: matematicamente qualquer
resolve. Como taxa horária negativa não faz sentido comercial, se quisermos a solução no mundo real acrescentamos a restrição
, ficando a faixa prática
Mas o enunciado pede apenas a condição relativa a
, então a conclusão principal é
.
Resposta
A empresa
pode cobrar até
por hora; ou seja, o valor por hora deve satisfazer
(praticamente
).