Duas empresas do mercado de pequenos reparos domésticos determinam o valor de seus serviços a partir de um valor fixo acrescido de um valor cobrado por hora. A empresa X cobra R \ 60,00 de valor fixo mais R \ 18,00 por hora de serviço prestado. A empresa Y cobra R\ç 24,00 de valor fixo e está definindo um novo valor a ser cobrado por hora. Sua estratégia de mercado prevê que, em relação à empresa X, o custo total do serviço deve ser menor ou igual para trabalhos de até duas horas de duração.

Passo 1

O enunciado dá duas empresas com preços formados por um valor fixo mais um valor por hora. Ele pede que a empresa Y escolha um novo valor por hora tal que, em relação à empresa X, o custo total de Y seja menor ou igual para trabalhos de até duas horas. Informações dadas:
\text{Empresa }X:\; \text{valor fixo }=60,\; \text{valor por hora }=18.
\text{Empresa }Y:\; \text{valor fixo }=24,\; \text{valor por hora }=\;?\;(\text{vamos chamar de }h).
Condição exigida pelo enunciado: para todo tempo de serviço t com 0\le t\le 2, o custo total de Y deve ser menor ou igual ao custo total de X.

Passo 2

Vamos escrever as expressões dos custos totais em função do tempo t.
C_X(t)=60+18t
C_Y(t)=24+ht
A condição “o custo total de Y deve ser menor ou igual ao de X para trabalhos de até duas horas” vira a desigualdade, que deve valer para todo t\in[0,2]:
24+ht \le 60+18t,\quad \text{para todo }t\in[0,2].

Passo 3

Subtraio 24+ht dos dois lados para trabalhar com a diferença entre os custos. Definimos a função diferença
D(t)=C_X(t)-C_Y(t) = (60+18t)-(24+ht) = 36+(18-h)t.
Queremos D(t)\ge 0 para todo t\in[0,2]. Note que D(t) é uma função afim (linear) de t: tem forma D(t)=a+bt com a=36 e b=(18-h).

Passo 4

Propriedade importante (explicando devagar): uma função afim D(t)=a+bt é monotônica em todo o intervalo; portanto seu valor mínimo num intervalo fechado [0,2] ocorre em uma das extremidades t=0 ou t=2. Assim, para garantir D(t)\ge 0 para todo t\in[0,2] basta garantir que D(0)\ge 0 e D(2)\ge 0, mas na prática basta analisar a inclinação b=18-h para ver qual extremidade dá o mínimo.

Passo 5

Analiso casos conforme o sinal da inclinação b=18-h.
Caso 1: h<18 (ou seja b>0). A função D(t) cresce com t, então o mínimo em [0,2] ocorre em t=0. Calculamos
D(0)=36,
que é positivo. Portanto, se h<18, temos D(t)\ge D(0)=36>0 para todo t\in[0,2] e a condição do enunciado é satisfeita. Intuição: se h<18, a taxa por hora de Y é menor que a de X, então Y será mais barata em qualquer duração.

Passo 6

Caso 2: h=18 (ou seja b=0). Então D(t)=36 é constante e positiva em todo o intervalo, logo a condição é satisfeita. Intuição: mesmo valor por hora, mas Y tem fixo menor, então sempre mais barato.

Passo 7

Caso 3: h>18 (ou seja b<0). Agora D(t) decresce com t, então o mínimo em [0,2] ocorre em t=2. Exigimos
D(2)=36+(18-h)\cdot 2 \ge 0.
Faço as contas passo a passo:
36+(18-h)\cdot 2 = 36 + 36 - 2h = 72 - 2h.
A desigualdade 72-2h \ge 0 é equivalente a
2h \le 72 \quad\Longrightarrow\quad h \le 36.
Portanto, quando h>18 a condição é satisfeita somente se h\le 36. Em resumo, para 18<h\le 36 a desigualdade vale para todo t\in[0,2].

Passo 8

Uno os três casos para obter a solução completa. Dos casos anteriores:
  • para h<18 funciona;
  • para h=18 funciona;
  • para 18<h\le 36 funciona;
  • para h>36 falha (por exemplo, se h=40 então D(2)=72-80=-8<0, ou seja em t=2 a empresa Y sairia mais cara).
    Logo a condição "para trabalhos de até duas horas o custo de Y deve ser menor ou igual ao de X" é satisfeita exatamente quando
h \le 36.

Passo 9

Comentário prático: matematicamente qualquer h\le 36 resolve. Como taxa horária negativa não faz sentido comercial, se quisermos a solução no mundo real acrescentamos a restrição h\ge 0, ficando a faixa prática
0 \le h \le 36.
Mas o enunciado pede apenas a condição relativa a X, então a conclusão principal é h\le 36.

Resposta

A empresa Y pode cobrar até R\$36,00 por hora; ou seja, o valor por hora deve satisfazer h \le 36 (praticamente 0 \le h \le 36).

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