Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 44 gostam de música; 39 gostam de esporte e 41 gostam de leitura.
a) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar somente de música?
b) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de apenas uma dessas atividades?
c) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?
a) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar somente de música?
b) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de apenas uma dessas atividades?
c) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
jovens e pede três probabilidades ao escolher um jovem ao acaso:
(a) a probabilidade de ele gostar somente de música;
(b) a probabilidade de ele gostar de apenas uma dessas atividades (ou seja, exatamente uma entre música, esporte e leitura);
(c) a probabilidade de ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
(a) a probabilidade de ele gostar somente de música;
(b) a probabilidade de ele gostar de apenas uma dessas atividades (ou seja, exatamente uma entre música, esporte e leitura);
(c) a probabilidade de ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
As informações fornecidas (vou listar exatamente como foram dadas):
(gostam das três)
Aqui
= conjunto dos que gostam de música,
= esporte,
= leitura. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo como contar “somente” e “apenas uma”: quando eu peço quem gosta somente de música, quero os elementos que estão em
mas não em
nem em
. Uma forma muito prática de fazer isso é usar subtrações das interseções.
Regra-chave (explicação didática): se tomamos
e subtraímos
e
, nós removemos todas as pessoas que gostam de música e também de esporte e as que gostam de música e também de leitura. Porém quem gosta das três (
) foi removido duas vezes (uma vez ao subtrair
e outra ao subtrair
). Por isso precisamos somar de volta
. Assim a fórmula para “somente música” é:
O mesmo raciocínio vale para “somente
” e “somente
”.
Passo 3
Calcular quem gosta somente de música usando a fórmula do passo anterior.
Substituindo os números:
Agora o cálculo passo a passo:
, depois
, por fim
.
Portanto
Interpretação rápida: há
jovens que gostam apenas de música.
Passo 4
Calcular quem gosta somente de esporte e somente de leitura com a mesma fórmula, mostrando os passos.
Para esporte:
Substituindo:
Cálculo:
;
;
.
Logo
Logo
Para leitura:
Substituindo:
Cálculo:
;
;
.
Logo
Logo
Passo 5
Calcular quantos gostam de apenas uma das atividades (somatório dos “somente” identificados).
Somando:
Então
Passo 6
Calcular quantos gostam de pelo menos uma das atividades (união) e quantos não gostam de nenhuma (complemento). Vou usar a fórmula de inclusão-exclusão para a união (explico a fórmula antes):
Fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
Significado intuitivo: somo os individuais, subtraio as interseções de dois (porque foram contadas duas vezes), mas aí subtraí a interseção tripla três vezes nas subtrações, então preciso adicionar uma vez para compensar.
Agora cálculo:
Calcule em etapas:
.
. Então
. Depois
.
Assim
Número que não gosta de nenhuma é o complemento dentro de
:
Passo 7
Transformar contagens em probabilidades: ao apontar um jovem ao acaso, a probabilidade é a razão entre o número de jovens com a característica e o total
. Vou simplificar frações quando possível e também dar decimal aproximado (use vírgula como separador decimal).
(a) Probabilidade de gostar somente de música:
Simplificando
. Em decimal
.
(b) Probabilidade de gostar de apenas uma atividade:
Simplificando
. Em decimal
(arredondado a quatro casas).
(c) Probabilidade de não gostar de nenhuma:
Essa fração não simplifica; em decimal
(arredondado a quatro casas).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)