Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 44 gostam de música; 39 gostam de esporte e 41 gostam de leitura.
a) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar somente de música?
b) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de apenas uma dessas atividades?
c) Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?

Passo 1

O enunciado dá um grupo com 75 jovens e pede três probabilidades ao escolher um jovem ao acaso:
(a) a probabilidade de ele gostar somente de música;
(b) a probabilidade de ele gostar de apenas uma dessas atividades (ou seja, exatamente uma entre música, esporte e leitura);
(c) a probabilidade de ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
As informações fornecidas (vou listar exatamente como foram dadas):
n(\text{total})=75
n(M\cap S\cap L)=16 (gostam das três)
n(M\cap S)=24
n(M\cap L)=30
n(S\cap L)=22
n(M)=44
n(S)=39
n(L)=41
Aqui M = conjunto dos que gostam de música, S = esporte, L = leitura. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo como contar “somente” e “apenas uma”: quando eu peço quem gosta somente de música, quero os elementos que estão em M mas não em S nem em L. Uma forma muito prática de fazer isso é usar subtrações das interseções.
Regra-chave (explicação didática): se tomamos n(M) e subtraímos n(M\cap S) e n(M\cap L), nós removemos todas as pessoas que gostam de música e também de esporte e as que gostam de música e também de leitura. Porém quem gosta das três ( M\cap S\cap L) foi removido duas vezes (uma vez ao subtrair M\cap S e outra ao subtrair M\cap L). Por isso precisamos somar de volta n(M\cap S\cap L). Assim a fórmula para “somente música” é:
n(\text{somente }M)=n(M)-n(M\cap S)-n(M\cap L)+n(M\cap S\cap L)
O mesmo raciocínio vale para “somente S” e “somente L”.

Passo 3

Calcular quem gosta somente de música usando a fórmula do passo anterior.
Substituindo os números:
n(\text{somente }M)=44-24-30+16
Agora o cálculo passo a passo: 44-24=20, depois 20-30=-10, por fim -10+16=6.
Portanto
n(\text{somente }M)=6.
Interpretação rápida: há 6 jovens que gostam apenas de música.

Passo 4

Calcular quem gosta somente de esporte e somente de leitura com a mesma fórmula, mostrando os passos.
Para esporte:
n(\text{somente }S)=n(S)-n(M\cap S)-n(S\cap L)+n(M\cap S\cap L)
Substituindo:
n(\text{somente }S)=39-24-22+16.
Cálculo: 39-24=15; 15-22=-7; -7+16=9.
Logo
n(\text{somente }S)=9.
Para leitura:
n(\text{somente }L)=n(L)-n(M\cap L)-n(S\cap L)+n(M\cap S\cap L)
Substituindo:
n(\text{somente }L)=41-30-22+16.
Cálculo: 41-30=11; 11-22=-11; -11+16=5.
Logo
n(\text{somente }L)=5.

Passo 5

Calcular quantos gostam de apenas uma das atividades (somatório dos “somente” identificados).
Somando:
n(\text{exatamente uma})=n(\text{somente }M)+n(\text{somente }S)+n(\text{somente }L)=6+9+5.
Então
n(\text{exatamente uma})=20.

Passo 6

Calcular quantos gostam de pelo menos uma das atividades (união) e quantos não gostam de nenhuma (complemento). Vou usar a fórmula de inclusão-exclusão para a união (explico a fórmula antes):
Fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
n(M\cup S\cup L)=n(M)+n(S)+n(L)-n(M\cap S)-n(M\cap L)-n(S\cap L)+n(M\cap S\cap L)
Significado intuitivo: somo os individuais, subtraio as interseções de dois (porque foram contadas duas vezes), mas aí subtraí a interseção tripla três vezes nas subtrações, então preciso adicionar uma vez para compensar.
Agora cálculo:
n(M\cup S\cup L)=44+39+41-24-30-22+16.
Calcule em etapas: 44+39+41=124. 24+30+22=76. Então 124-76=48. Depois 48+16=64.
Assim
n(M\cup S\cup L)=64.
Número que não gosta de nenhuma é o complemento dentro de 75:
n(\text{nenhuma})=75-64=11.

Passo 7

Transformar contagens em probabilidades: ao apontar um jovem ao acaso, a probabilidade é a razão entre o número de jovens com a característica e o total 75. Vou simplificar frações quando possível e também dar decimal aproximado (use vírgula como separador decimal).
(a) Probabilidade de gostar somente de música:
P(\text{somente }M)=\frac{n(\text{somente }M)}{75}=\frac{6}{75}.
Simplificando \frac{6}{75}=\frac{2}{25}. Em decimal \frac{2}{25}=0,08.
(b) Probabilidade de gostar de apenas uma atividade:
P(\text{exatamente uma})=\frac{n(\text{exatamente uma})}{75}=\frac{20}{75}.
Simplificando \frac{20}{75}=\frac{4}{15}. Em decimal \frac{4}{15}\approx0,2667 (arredondado a quatro casas).
(c) Probabilidade de não gostar de nenhuma:
P(\text{nenhuma})=\frac{n(\text{nenhuma})}{75}=\frac{11}{75}.
Essa fração não simplifica; em decimal \frac{11}{75}\approx0,1467 (arredondado a quatro casas).

Resposta

(a) \dfrac{2}{25}=0,08
(b) \dfrac{4}{15}\approx0,2667
(c) \dfrac{11}{75}\approx0,1467

Exercícios relacionados