Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês, após determinada operação de câncer , é igual a 20%.
Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo:
a. Todos sobreviverem
b. Apenas dois sobreviverem

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês após a operação é \,20\%. Três pacientes são submetidos à operação. As perguntas são:
a. Qual a probabilidade de todos os três sobreviverem nesse prazo?
b. Qual a probabilidade de apenas dois dos três sobreviverem nesse prazo?
Informações relevantes dadas:
  • Probabilidade de morrer em 1 mês: \,20\%.
  • 3 pacientes idênticos quanto à situação (mesma operação).
  • Precisamos assumir que os resultados para pacientes diferentes são independentes (o que é comum neste tipo de problema): o que acontece com um não altera a probabilidade dos outros.

Passo 2

Converter a porcentagem em probabilidade e definir variáveis úteis:
  • Probabilidade de morrer: \,0,2 (peguei isso do enunciado: 20\%).
  • Probabilidade de sobreviver: \,1-0,2=0,8. Vou chamar \,p=0,8 a probabilidade de um paciente sobreviver.
    Explicação didática: porcentagem vira probabilidade dividindo por 100. Aqui \,20\% = 0,20 = 0,2. Como só há duas possibilidades (morrer ou sobreviver) e presumimos que são exclusivas e esgotam o espaço, a probabilidade de sobreviver é 1 menos a de morrer.

Passo 3

Princípio usado (regra da multiplicação para eventos independentes):
Se dois eventos A e B são independentes então \,P(A\text{ e }B)=P(A)\cdot P(B). Para n eventos independentes a extensão é \,P(\bigcap_{i=1}^n A_i)=\prod_{i=1}^n P(A_i).
No nosso caso, “cada paciente sobreviver” são eventos independentes iguais com probabilidade \,p=0,8.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de que todos os três sobrevivam (item a):
  • Pelo princípio da multiplicação, a probabilidade de paciente 1 sobreviver e paciente 2 sobreviver e paciente 3 sobreviver é
P(\text{3 sobrevivem}) = p\cdot p\cdot p = p^3.
  • Substituindo p=0,8:
P(\text{3 sobrevivem}) = 0,8^3.
Agora faço as contas passo a passo:
0,8^2 = 0,64,
0,8^3 = 0,64\cdot 0,8 = 0,512.
Portanto a probabilidade de todos sobreviverem é \,0,512.

Passo 5

Princípio usado para “exatamente dois sobreviverem”: combinatória + multiplicação
  • “Apenas dois sobreviverem” significa que exatamente dois têm sucesso (sobrevivem) e um falha (morre). Cada sequência específica com dois sucessos e uma falha tem probabilidade p^2(1-p) por multiplicação (pois são independentes).
  • Mas há várias maneiras de escolher qual paciente é o que morre. O número de maneiras de escolher qual 1 dos 3 morre é o coeficiente binomial
\binom{3}{1}=\binom{3}{2}=3.
Explicação didática: \binom{n}{k} conta de quantas formas podemos escolher k sucessos entre n ensaios; aqui escolhemos quais 2 sobrevivem (ou equivalentemente qual 1 morre).

Passo 6

Cálculo da probabilidade de que exatamente dois dos três sobrevivam (item b):
  • Fórmula:
P(\text{exatamente 2 sobreviverem}) = \binom{3}{2}\, p^2 (1-p).
  • Substituindo \binom{3}{2}=3, p=0,8 e 1-p=0,2:
P(\text{exatamente 2 sobreviverem}) = 3\cdot 0,8^2 \cdot 0,2.
Faço as contas passo a passo:
0,8^2 = 0,64,
0,64\cdot 0,2 = 0,128,
3\cdot 0,128 = 0,384.
Portanto a probabilidade de apenas dois sobreviverem é \,0,384.

Resposta

a. 0,512
b. 0,384

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