Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês, após determinada operação de câncer , é igual a 20%.
Se três pacientes são submetidos a essa operação, calcule a probabilidade de, nesse prazo:
a. Todos sobreviverem
b. Apenas dois sobreviverem
a. Todos sobreviverem
b. Apenas dois sobreviverem
Passo 1
O enunciado diz que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de um mês após a operação é
. Três pacientes são submetidos à operação. As perguntas são:
a. Qual a probabilidade de todos os três sobreviverem nesse prazo?
b. Qual a probabilidade de apenas dois dos três sobreviverem nesse prazo?
a. Qual a probabilidade de todos os três sobreviverem nesse prazo?
b. Qual a probabilidade de apenas dois dos três sobreviverem nesse prazo?
Informações relevantes dadas:
- Probabilidade de morrer em 1 mês:
. - Há
pacientes idênticos quanto à situação (mesma operação). - Precisamos assumir que os resultados para pacientes diferentes são independentes (o que é comum neste tipo de problema): o que acontece com um não altera a probabilidade dos outros.
Passo 2
Converter a porcentagem em probabilidade e definir variáveis úteis:
- Probabilidade de morrer:
(peguei isso do enunciado: ). - Probabilidade de sobreviver:
. Vou chamar a probabilidade de um paciente sobreviver.
Explicação didática: porcentagem vira probabilidade dividindo por. Aqui . Como só há duas possibilidades (morrer ou sobreviver) e presumimos que são exclusivas e esgotam o espaço, a probabilidade de sobreviver é menos a de morrer.
Passo 3
Princípio usado (regra da multiplicação para eventos independentes):
Se dois eventos e
são independentes então
. Para
eventos independentes a extensão é
.
No nosso caso, “cada paciente sobreviver” são eventos independentes iguais com probabilidade .
Se dois eventos
No nosso caso, “cada paciente sobreviver” são eventos independentes iguais com probabilidade
Passo 4
Cálculo da probabilidade de que todos os três sobrevivam (item a):
- Pelo princípio da multiplicação, a probabilidade de paciente 1 sobreviver e paciente 2 sobreviver e paciente 3 sobreviver é
- Substituindo
:
Agora faço as contas passo a passo:
Portanto a probabilidade de todos sobreviverem é
.
Passo 5
Princípio usado para “exatamente dois sobreviverem”: combinatória + multiplicação
- “Apenas dois sobreviverem” significa que exatamente dois têm sucesso (sobrevivem) e um falha (morre). Cada sequência específica com dois sucessos e uma falha tem probabilidade
por multiplicação (pois são independentes). - Mas há várias maneiras de escolher qual paciente é o que morre. O número de maneiras de escolher qual
dos morre é o coeficiente binomial
Explicação didática:
conta de quantas formas podemos escolher
sucessos entre
ensaios; aqui escolhemos quais 2 sobrevivem (ou equivalentemente qual 1 morre).
Passo 6
Cálculo da probabilidade de que exatamente dois dos três sobrevivam (item b):
- Fórmula:
- Substituindo
, e :
Faço as contas passo a passo:
Portanto a probabilidade de apenas dois sobreviverem é
.
Resposta
a.
b.
b.