Duas equipes realizaram uma tarefa de produção. O tempo (em horas) para conclusão por cada membro foi:
Equipe A: 4, 5, 6 Equipe B: 7, 8, 9
(a) Calcule a média e o desvio padrão para cada equipe.
(b) Qual equipe foi mais rápida, em média? Qual apresentou maior variação no tempo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a média e o desvio padrão para cada equipe.
  • (b) Dizer qual equipe foi mais rápida, em média, e qual apresentou maior variação no tempo.
Dados fornecidos:
  • Equipe A: (4,\;5,\;6) horas.
  • Equipe B: (7,\;8,\;9) horas.
Vou proceder passo a passo e explicar bem cada fórmula e conta para você entender e poder repetir na prova.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética:
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Explicação: \bar{x} é a média (valor típico), n é o número de observações e x_i são os valores individuais. A média é a soma dos valores dividida pelo número de valores.
Calculemos a média da Equipe A:
\bar{x}_A=\dfrac{4+5+6}{3}=\dfrac{15}{3}=5
Unidade: horas. Então a média da Equipe A é \bar{x}_A=5 horas.

Passo 3

Calculemos a média da Equipe B com a mesma fórmula:
\bar{x}_B=\dfrac{7+8+9}{3}=\dfrac{24}{3}=8
Logo a média da Equipe B é \bar{x}_B=8 horas.

Passo 4

Definição e fórmula do desvio padrão amostral (escolha e justificativa):
Há duas versões comuns do desvio padrão: o desvio padrão populacional (dividindo por n) e o desvio padrão amostral (dividindo por n-1, correção de Bessel). Em problemas de comparação de variação entre pequenos grupos, o desvio padrão amostral é o uso padrão ao tratar os dados como amostra. Vou usar o desvio padrão amostral, cuja fórmula é:
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}
Explicação: s^2 é a variância amostral (média dos quadrados das diferenças em relação à média, com divisor n-1) e s é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância). O desvio padrão mede o quanto, em média, os tempos se afastam da média.

Passo 5

Calculemos a variância e o desvio padrão da Equipe A.
Primeiro as diferenças em relação à média \bar{x}_A=5:
4-5=-1,\qquad 5-5=0,\qquad 6-5=1
Agora os quadrados dessas diferenças:
(-1)^2=1,\qquad 0^2=0,\qquad 1^2=1
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_A)^2 = 1+0+1=2
Número de observações \,n=3. Então a variância amostral:
s_A^2=\dfrac{2}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1
E o desvio padrão:
s_A=\sqrt{1}=1
Unidade: horas. Portanto o desvio padrão da Equipe A é s_A=1 hora.

Passo 6

Calculemos a variância e o desvio padrão da Equipe B.
Diferenças em relação à média \bar{x}_B=8:
7-8=-1,\qquad 8-8=0,\qquad 9-8=1
Quadrados:
(-1)^2=1,\qquad 0^2=0,\qquad 1^2=1
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_B)^2 = 1+0+1=2
Variância amostral:
s_B^2=\dfrac{2}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1
Desvio padrão:
s_B=\sqrt{1}=1
Então o desvio padrão da Equipe B é s_B=1 hora.

Passo 7

Interpretação comparativa (resposta à parte (b)):
  • Qual equipe foi mais rápida, em média? A equipe com menor média de tempo é a mais rápida. Comparando \bar{x}_A=5 e \bar{x}_B=8, a Equipe A foi mais rápida, em média.
  • Qual apresentou maior variação no tempo? Como s_A=1 e s_B=1, as duas equipes apresentaram a mesma variação (igual desvio padrão).

Passo 8

Pequeno resumo e dica para a prova:
  • Cálculo da média: somar e dividir por n.
  • Cálculo do desvio padrão amostral: subtrair a média, elevar ao quadrado, somar, dividir por n-1, e tirar a raiz quadrada.
  • Aqui as contas ficaram simples porque as sequências são simétricas ( -1,0,1 nas diferenças), o que levou à mesma variância para as duas equipes.

Resposta

(a) Equipe A: média \bar{x}_A=5 horas; desvio padrão s_A=1 hora.
(a) Equipe B: média \bar{x}_B=8 horas; desvio padrão s_B=1 hora.
(b) Mais rápida em média: Equipe A.
(b) Maior variação no tempo: as duas equipes apresentaram a mesma variação (empate).

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