Duas equipes realizaram uma tarefa de produção. O tempo (em horas) para conclusão por cada membro foi:
Equipe A: 4, 5, 6 Equipe B: 7, 8, 9
(a) Calcule a média e o desvio padrão para cada equipe.
(b) Qual equipe foi mais rápida, em média? Qual apresentou maior variação no tempo?
Equipe A: 4, 5, 6 Equipe B: 7, 8, 9
(a) Calcule a média e o desvio padrão para cada equipe.
(b) Qual equipe foi mais rápida, em média? Qual apresentou maior variação no tempo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a média e o desvio padrão para cada equipe.
- (b) Dizer qual equipe foi mais rápida, em média, e qual apresentou maior variação no tempo.
Dados fornecidos:
- Equipe A:
horas. - Equipe B:
horas.
Vou proceder passo a passo e explicar bem cada fórmula e conta para você entender e poder repetir na prova.
Passo 2
Definição e fórmula da média aritmética:
Explicação:
é a média (valor típico),
é o número de observações e
são os valores individuais. A média é a soma dos valores dividida pelo número de valores.
Calculemos a média da Equipe A:
Unidade: horas. Então a média da Equipe A é
horas.
Passo 3
Calculemos a média da Equipe B com a mesma fórmula:
Logo a média da Equipe B é
horas.
Passo 4
Definição e fórmula do desvio padrão amostral (escolha e justificativa):
Há duas versões comuns do desvio padrão: o desvio padrão populacional (dividindo por ) e o desvio padrão amostral (dividindo por
, correção de Bessel). Em problemas de comparação de variação entre pequenos grupos, o desvio padrão amostral é o uso padrão ao tratar os dados como amostra. Vou usar o desvio padrão amostral, cuja fórmula é:
Há duas versões comuns do desvio padrão: o desvio padrão populacional (dividindo por
Explicação:
é a variância amostral (média dos quadrados das diferenças em relação à média, com divisor
) e
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância). O desvio padrão mede o quanto, em média, os tempos se afastam da média.
Passo 5
Calculemos a variância e o desvio padrão da Equipe A.
Primeiro as diferenças em relação à média :
Primeiro as diferenças em relação à média
Agora os quadrados dessas diferenças:
Soma dos quadrados:
Número de observações
. Então a variância amostral:
E o desvio padrão:
Unidade: horas. Portanto o desvio padrão da Equipe A é
hora.
Passo 6
Calculemos a variância e o desvio padrão da Equipe B.
Diferenças em relação à média :
Diferenças em relação à média
Quadrados:
Soma dos quadrados:
Variância amostral:
Desvio padrão:
Então o desvio padrão da Equipe B é
hora.
Passo 7
Interpretação comparativa (resposta à parte (b)):
- Qual equipe foi mais rápida, em média? A equipe com menor média de tempo é a mais rápida. Comparando
e , a Equipe A foi mais rápida, em média. - Qual apresentou maior variação no tempo? Como
e , as duas equipes apresentaram a mesma variação (igual desvio padrão).
Passo 8
Pequeno resumo e dica para a prova:
- Cálculo da média: somar e dividir por
. - Cálculo do desvio padrão amostral: subtrair a média, elevar ao quadrado, somar, dividir por
, e tirar a raiz quadrada. - Aqui as contas ficaram simples porque as sequências são simétricas (
nas diferenças), o que levou à mesma variância para as duas equipes.
Resposta
(a) Equipe A: média
horas; desvio padrão
hora.
(a) Equipe B: média horas; desvio padrão
hora.
(b) Mais rápida em média: Equipe A.
(b) Maior variação no tempo: as duas equipes apresentaram a mesma variação (empate).
(a) Equipe B: média
(b) Mais rápida em média: Equipe A.
(b) Maior variação no tempo: as duas equipes apresentaram a mesma variação (empate).