Duas esferas, cada uma com massa m, distantes de R, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(a) a velocidade linear de cada esfera;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas, cada uma com massa m, separadas por uma distância R, e ambas estão orbitando ao redor do centro de massa desse sistema. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade linear de cada uma dessas esferas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento circular e força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde está o centro de massa. Como as duas esferas têm a mesma massa m, o centro de massa fica exatamente no meio da distância entre elas. Ou seja, cada esfera está a uma distância r = R2 do centro de massa.

Passo 3

Agora, para cada esfera, a força gravitacional entre elas é o que mantém a esfera em movimento circular ao redor do centro de massa. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Fgrav = G cdot m cdot mR^2 = G m^2R^2
Aqui, G é a constante gravitacional.

Passo 4

Essa força gravitacional também é responsável pela força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Fcentripeta = m v^2r
Onde v é a velocidade linear que queremos encontrar e r é a distância do centro de massa, que já sabemos que é R2.

Passo 5

Como a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta para manter a órbita, podemos igualar as duas expressões:
G m^2R^2 = m v^2R2

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, o m em ambos os lados pode ser cancelado:
G mR^2 = v^2R2
Multiplicando ambos os lados por R2:
G mR^2 cdot R2 = v^2
Simplificando:
v^2 = G m2 R

Passo 7

Finalmente, para encontrar a velocidade v, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raizG m2 R

Resposta

A velocidade linear de cada esfera é:
v = raizG m2 R

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