Duas esferas, cada uma com massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(a) a velocidade linear de cada esfera;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas, cada uma com massa
, separadas por uma distância
, e ambas estão orbitando ao redor do centro de massa desse sistema. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade linear de cada uma dessas esferas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento circular e força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde está o centro de massa. Como as duas esferas têm a mesma massa
, o centro de massa fica exatamente no meio da distância entre elas. Ou seja, cada esfera está a uma distância
do centro de massa.
Passo 3
Agora, para cada esfera, a força gravitacional entre elas é o que mantém a esfera em movimento circular ao redor do centro de massa. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Aqui,
é a constante gravitacional.
Passo 4
Essa força gravitacional também é responsável pela força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde
é a velocidade linear que queremos encontrar e
é a distância do centro de massa, que já sabemos que é
.
Passo 5
Como a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta para manter a órbita, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, o
em ambos os lados pode ser cancelado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a velocidade
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade linear de cada esfera é: