Duas esferas, cada uma com massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(b) a velocidade angular;
(b) a velocidade angular;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas esferas, cada uma com massa $ m $, separadas por uma distância $ R
\omega $) desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos circulares e a força gravitacional que mantém as esferas orbitando.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde está o centro de massa desse sistema. Como as duas esferas têm a mesma massa $ m $ e estão separadas por uma distância $ R $, o centro de massa estará exatamente no ponto médio entre elas. Isso significa que cada esfera está a uma distância de $ \frac{R}{2} $ do centro de massa.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas forças em jogo. A força gravitacional entre as duas esferas está fornecendo a força centrípeta necessária para que elas continuem orbitando em círculo ao redor do centro de massa. A força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde $ G $ é a constante gravitacional.
Passo 4
A força centrípeta necessária para manter cada esfera em movimento circular é dada por:
Aqui, $ \omega $ é a velocidade angular que queremos encontrar, e $ r $ é o raio da trajetória, que no nosso caso é $ \frac{R}{2} $.
Passo 5
Igualando as duas expressões para a força $ F $, temos:
Podemos simplificar essa equação cancelando um $ m $ de cada lado:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \omega^2 $:
Para encontrar $ \omega $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade angular das esferas é: