Duas esferas, cada uma com massa m, distantes de R, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(b) a velocidade angular;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas esferas, cada uma com massa $ m $, separadas por uma distância $ R m ãé \omega $) desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos circulares e a força gravitacional que mantém as esferas orbitando.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde está o centro de massa desse sistema. Como as duas esferas têm a mesma massa $ m $ e estão separadas por uma distância $ R $, o centro de massa estará exatamente no ponto médio entre elas. Isso significa que cada esfera está a uma distância de $ \frac{R}{2} $ do centro de massa.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças em jogo. A força gravitacional entre as duas esferas está fornecendo a força centrípeta necessária para que elas continuem orbitando em círculo ao redor do centro de massa. A força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G m cdot mR^2 = G m^2R^2
onde $ G $ é a constante gravitacional.

Passo 4

A força centrípeta necessária para manter cada esfera em movimento circular é dada por:
F = m cdot ac = m cdot omega^2 cdot r
Aqui, $ \omega $ é a velocidade angular que queremos encontrar, e $ r $ é o raio da trajetória, que no nosso caso é $ \frac{R}{2} $.

Passo 5

Igualando as duas expressões para a força $ F $, temos:
F
Podemos simplificar essa equação cancelando um $ m $ de cada lado:
G m^2R^2 = m cdot omega^2 cdot R2

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \omega^2 $:
omega^2
Para encontrar $ \omega $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
omega^2 = 2 G mR^3

Resposta

A velocidade angular das esferas é:
omega = raiz 2 G mR^3

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