Duas esferas, cada uma com massa m, distantes de R, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento.
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)

Passo 1

O enunciado dá: duas esferas, cada uma com massa m, separadas por uma distância R, orbitam em torno do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas. Pede-se:
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento;
(d) mostrar que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos usando (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial (o enunciado indica que basta usar a forma que não foi usada em (a)-(c)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\bullet massas iguais: cada esfera tem massa m.
\bullet distância entre as esferas: R.
\bullet elas orbitam o centro de massa do sistema — com massas iguais, o centro de massa fica no ponto médio entre as esferas.
\bullet vamos assumir movimento circular uniforme (é a hipótese natural quando se fala que orbitam com velocidade constante em torno do centro de massa).
Não se resolve nada aqui ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Posição dos corpos e variáveis que vamos usar (muito importante entender isso para montar as equações):
Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no ponto médio entre elas. Portanto cada esfera descreve uma órbita circular de raio
r=\frac{R}{2}.
Definimos as variáveis:
\bullet v = velocidade linear (tangencial) de cada esfera;
\bullet \omega = velocidade angular (também chamada de rapidez angular);
\bullet T = período do movimento (tempo para uma volta completa).
Relação geométrica básica entre v e \omega: para movimento circular uniforme a velocidade linear e a angular estão relacionadas por
v=\omega r.
Aqui r é o raio da órbita de cada massa (já identificado acima).

Passo 3

Força centrípeta necessária e sua fórmula:
Para manter uma partícula de massa m descrevendo uma trajetória circular de raio r com velocidade linear v é preciso uma força centrípeta dirigida para o centro igual a
F_{\text{c}}=m a_{\text{c}}=m\frac{v^{2}}{r}.
Expliquei: a_{\text{c}}=\dfrac{v^{2}}{r} é a aceleração centrípeta (sempre apontando para o centro da curva) e multiplicando por m obtemos a força necessária.

Passo 4

Força gravitacional entre as duas esferas:
A lei da gravitação universal de Newton dá a força de atração entre as duas massas separadas por R:
F_{g}=\frac{G m \cdot m}{R^{2}}=\frac{G m^{2}}{R^{2}},
onde G é a constante gravitacional. Esta força é justamente a responsável por prover a força centrípeta que mantém cada esfera em órbita ao redor do centro de massa — a linha de ação da força passa pelo outro corpo e, por simetria, pela posição do centro de massa.
Como a força gravitacional é a única força (no modelo ideal), igualamos a força gravitacional à força centrípeta que age sobre uma das massas:
m\frac{v^{2}}{r}= \frac{G m^{2}}{R^{2}}.
Agora substituímos r=\dfrac{R}{2} (do Passo 2) e simplificamos. Primeiro cancele um fator m em ambos os lados:
\frac{v^{2}}{r}=\frac{G m}{R^{2}}.
Substituindo r=\dfrac{R}{2}:
\frac{v^{2}}{R/2}=\frac{G m}{R^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por R/2:
v^{2}=\frac{G m}{R^{2}}\cdot\frac{R}{2}=\frac{G m}{2R}.
Portanto a velocidade linear de cada esfera é
v=\sqrt{\frac{G m}{2R}}.
Observação prática: tome cuidado com as raízes (sempre a raiz positiva para velocidade escalar).

Passo 5

Cálculo da velocidade angular \omega:
Já sabemos que v=\omega r. Isolando \omega:
\omega=\frac{v}{r}.
Substituímos v^{2}=\dfrac{G m}{2R} e r=\dfrac{R}{2}. Primeiro podemos obter \omega^{2} para evitar raízes intermediárias:
\omega^{2}=\frac{v^{2}}{r^{2}}=\frac{\dfrac{G m}{2R}}{\left(\dfrac{R}{2}\right)^{2}}.
Calcule o denominador: \left(\dfrac{R}{2}\right)^{2}=\dfrac{R^{2}}{4}. Então
\omega^{2}=\frac{G m}{2R}\cdot\frac{4}{R^{2}}=\frac{2G m}{R^{3}}.
Logo
\omega=\sqrt{\frac{2G m}{R^{3}}}.

Passo 6

Cálculo do período T:
A relação entre período e velocidade angular é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\sqrt{\dfrac{2G m}{R^{3}}}:
T=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{2G m}}.
Assim obtemos o período do movimento circular de cada esfera.

Passo 7

Agora o teorema do Virial — explicação didática do que é e como aplicamos:
O teorema do Virial, numa forma útil para potenciais de força central, diz que para um sistema ligado e em estado estacionário (ou para médias de tempo) vale a relação
2\langle K\rangle = s \langle U\rangle,
onde K é a energia cinética total, U é a energia potencial total e s é o grau de homogeneidade do potencial U(\lambda \mathbf{r})=\lambda^{s} U(\mathbf{r}). Para o potencial gravitacional U\propto -1/r temos s=-1, logo
2\langle K\rangle = -\langle U\rangle,
ou equivalentemente
2\langle K\rangle + \langle U\rangle = 0.
No caso do movimento circular uniforme as grandezas são constantes no tempo, então podemos trocar médias de tempo por valores instantâneos.

Passo 8

Aplicando o Virial e mostrando que dá o mesmo resultado:
Escrevemos a energia cinética total do sistema (duas esferas) e a energia potencial gravitacional:
Energia cinética total:
K_{\text{total}}=2\cdot\frac{1}{2}mv^{2}=mv^{2}.
Energia potencial gravitacional (energia do par massa-massa):
U=-\frac{G m^{2}}{R}.
Aplicando o teorema do Virial na forma 2K+U=0:
2\bigl(mv^{2}\bigr)+\left(-\frac{G m^{2}}{R}\right)=0.
Simplificando:
2m v^{2}=\frac{G m^{2}}{R}.
Cancelando um m:
2 v^{2}=\frac{G m}{R}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{G m}{2R},
que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo balanço força centrípeta = força gravitacional. Portanto os cálculos de \omega e T seguem da mesma maneira e levam às mesmas fórmulas:
\omega=\sqrt{\frac{2G m}{R^{3}}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{2G m}}.

Passo 9

Resumo final e um empurrãozinho: concluímos que, para duas massas iguais m separadas por R em órbita circular em torno do centro de massa, as expressões são simples e aparecem tanto pelo equilíbrio de forças quanto pelo teorema do Virial. Você já tem tudo pronto para decorar e aplicar na prova — respira, repete as fórmulas e faz uns exercícios parecidos para fixar!

Resposta

(a) v=\sqrt{\dfrac{G m}{2R}}
(b) \omega=\sqrt{\dfrac{2G m}{R^{3}}}
(c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^{3}}{2G m}}
(d) Usando o teorema do Virial 2K+U=0 obtemos v^{2}=\dfrac{G m}{2R}, \omega=\sqrt{\dfrac{2G m}{R^{3}}} (mesmos resultados acima).

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