Duas esferas, cada uma com massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento.
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento.
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)
Passo 1
O enunciado dá: duas esferas, cada uma com massa
, separadas por uma distância
, orbitam em torno do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas. Pede-se:
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento;
(d) mostrar que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos usando (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial (o enunciado indica que basta usar a forma que não foi usada em (a)-(c)).
(a) a velocidade linear de cada esfera;
(b) a velocidade angular;
(c) o período do movimento;
(d) mostrar que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos usando (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial (o enunciado indica que basta usar a forma que não foi usada em (a)-(c)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
massas iguais: cada esfera tem massa
.
distância entre as esferas:
.
elas orbitam o centro de massa do sistema — com massas iguais, o centro de massa fica no ponto médio entre as esferas.
vamos assumir movimento circular uniforme (é a hipótese natural quando se fala que orbitam com velocidade constante em torno do centro de massa).
Não se resolve nada aqui ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Posição dos corpos e variáveis que vamos usar (muito importante entender isso para montar as equações):
Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no ponto médio entre elas. Portanto cada esfera descreve uma órbita circular de raio
Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no ponto médio entre elas. Portanto cada esfera descreve uma órbita circular de raio
Definimos as variáveis:
= velocidade linear (tangencial) de cada esfera;
= velocidade angular (também chamada de rapidez angular);
= período do movimento (tempo para uma volta completa).
Relação geométrica básica entre
e
: para movimento circular uniforme a velocidade linear e a angular estão relacionadas por
Aqui
é o raio da órbita de cada massa (já identificado acima).
Passo 3
Força centrípeta necessária e sua fórmula:
Para manter uma partícula de massa descrevendo uma trajetória circular de raio
com velocidade linear
é preciso uma força centrípeta dirigida para o centro igual a
Para manter uma partícula de massa
Expliquei:
é a aceleração centrípeta (sempre apontando para o centro da curva) e multiplicando por
obtemos a força necessária.
Passo 4
Força gravitacional entre as duas esferas:
A lei da gravitação universal de Newton dá a força de atração entre as duas massas separadas por :
A lei da gravitação universal de Newton dá a força de atração entre as duas massas separadas por
onde
é a constante gravitacional. Esta força é justamente a responsável por prover a força centrípeta que mantém cada esfera em órbita ao redor do centro de massa — a linha de ação da força passa pelo outro corpo e, por simetria, pela posição do centro de massa.
Como a força gravitacional é a única força (no modelo ideal), igualamos a força gravitacional à força centrípeta que age sobre uma das massas:
Agora substituímos
(do Passo 2) e simplificamos. Primeiro cancele um fator
em ambos os lados:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto a velocidade linear de cada esfera é
Observação prática: tome cuidado com as raízes (sempre a raiz positiva para velocidade escalar).
Passo 5
Cálculo da velocidade angular
:
Já sabemos que . Isolando
:
Já sabemos que
Substituímos
e
. Primeiro podemos obter
para evitar raízes intermediárias:
Calcule o denominador:
. Então
Logo
Passo 6
Cálculo do período
:
A relação entre período e velocidade angular é
A relação entre período e velocidade angular é
Substituindo
:
Assim obtemos o período do movimento circular de cada esfera.
Passo 7
Agora o teorema do Virial — explicação didática do que é e como aplicamos:
O teorema do Virial, numa forma útil para potenciais de força central, diz que para um sistema ligado e em estado estacionário (ou para médias de tempo) vale a relação
O teorema do Virial, numa forma útil para potenciais de força central, diz que para um sistema ligado e em estado estacionário (ou para médias de tempo) vale a relação
onde
é a energia cinética total,
é a energia potencial total e
é o grau de homogeneidade do potencial
. Para o potencial gravitacional
temos
, logo
ou equivalentemente
No caso do movimento circular uniforme as grandezas são constantes no tempo, então podemos trocar médias de tempo por valores instantâneos.
Passo 8
Aplicando o Virial e mostrando que dá o mesmo resultado:
Escrevemos a energia cinética total do sistema (duas esferas) e a energia potencial gravitacional:
Energia cinética total:
Escrevemos a energia cinética total do sistema (duas esferas) e a energia potencial gravitacional:
Energia cinética total:
Energia potencial gravitacional (energia do par massa-massa):
Aplicando o teorema do Virial na forma
:
Simplificando:
Cancelando um
:
que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo balanço força centrípeta = força gravitacional. Portanto os cálculos de
e
seguem da mesma maneira e levam às mesmas fórmulas:
Passo 9
Resumo final e um empurrãozinho: concluímos que, para duas massas iguais
separadas por
em órbita circular em torno do centro de massa, as expressões são simples e aparecem tanto pelo equilíbrio de forças quanto pelo teorema do Virial. Você já tem tudo pronto para decorar e aplicar na prova — respira, repete as fórmulas e faz uns exercícios parecidos para fixar!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Usando o teorema do Virial obtemos
,
(mesmos resultados acima).
(b)
(c)
(d) Usando o teorema do Virial