A excentricidade da órbita de Mercúrio e e
. Calcule:
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.
Passo 1
O enunciado dá a excentricidade da órbita de Mercúrio
.\n
Pede:
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;\n
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.\n
Informações úteis (fornecidas ou implícitas): a órbita é elíptica com semieixo maior e excentricidade
. As distâncias do foco (Sol) aos pontos de periélio e afélio serão indicadas por
e
, e as velocidades correspondentes por
e
.
Pede:
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;\n
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.\n
Informações úteis (fornecidas ou implícitas): a órbita é elíptica com semieixo maior
Passo 2
Definição e fórmulas básicas (passo-a-passo, sem pular etapas).\n
Para uma elipse com semieixo maior e excentricidade
as distâncias do foco aos pontos extremos são:
Para uma elipse com semieixo maior
Aqui
é o semieixo maior (meia‑distância do centro ao vértice da elipse) e
mede o “achatamento” da elipse (0 para círculo, próximo de 1 para elipse muito alongada). Essas fórmulas vêm da geometria da elipse: a distância do foco a um vértice é
.
Passo 3
Cálculo da razão entre as distâncias (item a).\n
A razão pedida é
A razão pedida é
Substituindo
:
Para manipular sem calculadora, passo a passo: multiplicando numerador e denominador por
obtemos a fração inteira
Dividindo por
(simplificação):
Agora convertemos
para decimal por divisão longa (mostro os primeiros algarismos que você pode reproduzir na prova sem calculadora):
Portanto a razão
vale aproximadamente
(ou exatamente
).
Passo 4
Raciocínio físico para velocidades (item b) — explicação didática.\n
Num movimento sob força central (gravidade), o momento angular por unidade de massa (chamado de momento angular específico) é conservado. Esse momento angular específico vale
Num movimento sob força central (gravidade), o momento angular por unidade de massa (chamado de momento angular específico) é conservado. Esse momento angular específico vale
onde
é a distância ao foco e
é a componente da velocidade perpendicular ao raio. Nos pontos de periélio e afélio a velocidade é tangencial (perpendicular ao raio), então podemos escrever diretamente:
Isto implica, dividindo as duas igualdades:
Ou seja, a razão entre as velocidades é o inverso da razão entre as distâncias.
Passo 5
Expressão algébrica e substituição numérica para (b).\n
Usando as fórmulas de e
da Passo 2:
Usando as fórmulas de
Substituindo
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Convertendo para decimal (divisão longa) obtemos
Note que este valor é o recíproco do valor encontrado em (a), como já era de esperar pela relação de inversão.