A excentricidade da órbita de Mercúrio e e =0,206. Calcule:
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.

Passo 1

O enunciado dá a excentricidade da órbita de Mercúrio \,e=0,206.\n
Pede:
(a) a razão entre as distâncias de periélio e de afélio;\n
(b) a razão entre as velocidades orbitais no periélio e no afélio.\n
Informações úteis (fornecidas ou implícitas): a órbita é elíptica com semieixo maior a e excentricidade e. As distâncias do foco (Sol) aos pontos de periélio e afélio serão indicadas por r_{\mathrm{p}} e r_{\mathrm{a}}, e as velocidades correspondentes por v_{\mathrm{p}} e v_{\mathrm{a}}.

Passo 2

Definição e fórmulas básicas (passo-a-passo, sem pular etapas).\n
Para uma elipse com semieixo maior a e excentricidade e as distâncias do foco aos pontos extremos são:
r_{\mathrm{p}}=a(1-e)\quad\text{(periélio)}é
r_{\mathrm{a}}=a(1+e)\quad\text{(afélio)}é
Aqui \,a é o semieixo maior (meia‑distância do centro ao vértice da elipse) e \,e mede o “achatamento” da elipse (0 para círculo, próximo de 1 para elipse muito alongada). Essas fórmulas vêm da geometria da elipse: a distância do foco a um vértice é a\pm ae.

Passo 3

Cálculo da razão entre as distâncias (item a).\n
A razão pedida é
\frac{r_{\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{a}}}=\frac{a(1-e)}{a(1+e)}=\frac{1-e}{1+e}.
Substituindo \,e=0,206:
\frac{r_{\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{a}}}=\frac{1-0,206}{1+0,206}=\frac{0,794}{1,206}.
Para manipular sem calculadora, passo a passo: multiplicando numerador e denominador por 1000 obtemos a fração inteira
\frac{794}{1206}.
Dividindo por 2 (simplificação):
\frac{794}{1206}=\frac{397}{603}.
Agora convertemos \frac{397}{603} para decimal por divisão longa (mostro os primeiros algarismos que você pode reproduzir na prova sem calculadora):
\frac{397}{603}=0,6583747927\ldots
Portanto a razão r_{\mathrm{p}}/r_{\mathrm{a}} vale aproximadamente 0,65837 (ou exatamente \frac{397}{603}).

Passo 4

Raciocínio físico para velocidades (item b) — explicação didática.\n
Num movimento sob força central (gravidade), o momento angular por unidade de massa (chamado de momento angular específico) é conservado. Esse momento angular específico vale
h=r\,v_{\perp},
onde r é a distância ao foco e v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular ao raio. Nos pontos de periélio e afélio a velocidade é tangencial (perpendicular ao raio), então podemos escrever diretamente:
h=r_{\mathrm{p}}\,v_{\mathrm{p}}=r_{\mathrm{a}}\,v_{\mathrm{a}}.
Isto implica, dividindo as duas igualdades:
\frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{a}}}=\frac{r_{\mathrm{a}}}{r_{\mathrm{p}}}.
Ou seja, a razão entre as velocidades é o inverso da razão entre as distâncias.

Passo 5

Expressão algébrica e substituição numérica para (b).\n
Usando as fórmulas de r_{\mathrm{p}} e r_{\mathrm{a}} da Passo 2:
\frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{a}}}=\frac{r_{\mathrm{a}}}{r_{\mathrm{p}}}=\frac{1+e}{1-e}.
Substituindo \,e=0,206:
\frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{a}}}=\frac{1+0,206}{1-0,206}=\frac{1,206}{0,794}.
Multiplicando numerador e denominador por 1000:
\frac{1206}{794}=\frac{603}{397}.
Convertendo para decimal (divisão longa) obtemos
\frac{603}{397}=1,519625207\ldots
Note que este valor é o recíproco do valor encontrado em (a), como já era de esperar pela relação de inversão.

Resposta

\displaystyle \frac{r_{\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{a}}}=\frac{1-e}{1+e}=\frac{397}{603}\approx 0,6583747927\n
\displaystyle \frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{a}}}=\frac{1+e}{1-e}=\frac{603}{397}\approx 1,519625207

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