Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa
) são elípticas.
(a) Qual é a energia mecânica do planeta
, de massa
, que está a uma distância
do Sol num dado instante de tempo e que tem velocidade
nesse mesmo instante? Há conservação dessa energia? Por quê?
(b) Qual é o momento angular do planeta
no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas
e
)? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(c) Mostre que o período de translação
de qualquer um dos planetas ao quadrado é proporcional à distância
do planeta ao Sol ao cubo.
(d) Sabendo que o ano do planeta
é 165 vezes maior do que o do planeta P2 e que a distância do planeta
ao Sol é 1UA (unidades astronômicas), calcule a distância do planeta P5 até o Sol.
(a) Qual é a energia mecânica do planeta
(b) Qual é o momento angular do planeta
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(c) Mostre que o período de translação
(d) Sabendo que o ano do planeta
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar tudo que o problema pede e o que é fornecido, sem resolver ainda):
- Sistema com 5 planetas em órbitas elípticas ao redor do Sol de massa
. - Para o planeta
: massa , distância ao Sol num dado instante e velocidade nesse instante . - (a) Pergunta: qual é a energia mecânica de
nesse instante? Há conservação dessa energia? Justificar. - (b) Pergunta: qual é o momento angular de
no periélio (dados e )? O momento angular é conservado ao longo da órbita? Justificar. - Em seguida, assume-se órbitas quase circulares (excentricidade pequena).
- (c) Mostrar que o período de translação
ao quadrado é proporcional ao cubo da distância (ou seja, provar a lei de Kepler ). - (d) Dados numéricos:
e . Calcular (distância do ao Sol).
Passo 2
(a) Energia mecânica instantânea de
. Conceitos rápidos: a energia mecânica de um corpo sob forças conservativas é a soma da energia cinética e da energia potencial. Aqui a potencial gravitacional gerada pelo Sol é
onde
é a constante gravitacional e
é a distância Sol–planeta. A energia cinética é
Portanto a energia mecânica total instantânea é a soma:
Agora sobre conservação: a força gravitacional entre Sol e planeta é uma força central e conservativa — o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, logo a energia mecânica do par Sol–
é constante no tempo se considerarmos somente a interação gravitacional entre esses dois corpos (aproximação dois-corpos). Se houver perturbações vindas dos outros planetas do sistema (já que há 5 planetas), então essa energia do planeta considerada isoladamente pode variar levemente; em resumo: em boa aproximação (Sol dominante, interações planetárias desprezíveis) a energia é conservada ao longo da órbita.
Passo 3
(a — observação útil adicional). Uma forma útil de escrever a energia para órbitas elípticas ligadas é usando o semi-eixo maior
: da equação do movimento (vis-viva) resulta a identidade
que mostra que para órbitas elípticas a energia total é negativa e está ligada ao tamanho da elipse. Isso é útil na prova e para interpretar resultados na prova.
Passo 4
(b) Momento angular no periélio. Definição e conceitos: o momento angular (vetorial) de
em relação ao Sol é
e o seu módulo é
, onde
é a componente da velocidade perpendicular ao raio vetor
.
No periélio (ponto de maior aproximação) e no afélio a velocidade é puramente tangencial — a componente radial da velocidade é zero nesses pontos. Assim, no periélio o módulo do momento angular vale simplesmente
No periélio (ponto de maior aproximação) e no afélio a velocidade é puramente tangencial — a componente radial da velocidade é zero nesses pontos. Assim, no periélio o módulo do momento angular vale simplesmente
Conservação: a força gravitacional é central (aponta para o Sol), logo o torque em relação ao Sol é
Como o torque é zero,
é constante no tempo — o momento angular total de
é conservado ao longo da órbita na aproximação dois-corpos. Novamente, perturbações de outros planetas podem introduzir pequenas variações, mas na aproximação usual de sistema solar isolado por pares,
é conservado. Observação física: essa conservação é a base da segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).
Passo 5
(c) Período para órbitas circulares (aproximação de pequena excentricidade). Vamos montar as equações passo a passo.
- Para órbita circular a aceleração centrípeta necessária para manter o planeta em trajetória curva é fornecida pela gravidade:
aqui o
do planeta cancela; escrevo para um planeta genérico de massa
, mas vale para qualquer planeta do sistema. Cancelando
e rearranjando,
- O período
é o tempo para dar uma volta completa: . Elevando ao quadrado,
Portanto obtemos a relação desejada:
mais precisamente
que é a terceira lei de Kepler (a constante de proporcionalidade depende apenas da massa do Sol
, ou seja, é a mesma para todos os planetas que orbitam o mesmo Sol).
Passo 6
(d) Usar a lei
para calcular
. Escrevo a relação em forma de razões entre planetas
e
:
Isolando
,
Substituindo os dados:
e
,
Agora uma aproximação numérica razoável: calculei a raiz cúbica de
aproximadamente
, e elevando ao quadrado obtemos
Portanto
Interpretação:
está cerca de 30 vezes mais distante do Sol que
(que estava a
).
Resposta
(a)
Conservação: sim, se considerarmos apenas a interação gravitacional Sol–
(força central e conservativa); com perturbações dos outros planetas a energia do planeta isoladamente pode variar levemente.
(b) Conservação: sim (na aproximação dois-corpos), porque o torque gravitacional em relação ao Sol é nulo (força central).
(c) , logo
(d)
(b)
(c)
(d)