Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa M_{s} ) são elípticas.
(a) Qual é a energia mecânica do planeta P 2, de massa M_{2}, que está a uma distância R_{2} do Sol num dado instante de tempo e que tem velocidade V_{2} nesse mesmo instante? Há conservação dessa energia? Por quê?
(b) Qual é o momento angular do planeta P 2 no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas R_{2 \text {, periélio }}é e V_{2 \text {, periélio }}é )? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(c) Mostre que o período de translação T de qualquer um dos planetas ao quadrado é proporcional à distância R do planeta ao Sol ao cubo.
(d) Sabendo que o ano do planeta P 5 é 165 vezes maior do que o do planeta P2 e que a distância do planeta P 2 ao Sol é 1UA (unidades astronômicas), calcule a distância do planeta P5 até o Sol.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar tudo que o problema pede e o que é fornecido, sem resolver ainda):
  • Sistema com 5 planetas em órbitas elípticas ao redor do Sol de massa M_{s}.
  • Para o planeta P2: massa \,M_{2}, distância ao Sol num dado instante \,R_{2} e velocidade nesse instante \,V_{2}.
  • (a) Pergunta: qual é a energia mecânica de P2 nesse instante? Há conservação dessa energia? Justificar.
  • (b) Pergunta: qual é o momento angular de P2 no periélio (dados \,R_{2,\text{periélio}}é e \,V_{2,\text{periélio}}é)? O momento angular é conservado ao longo da órbita? Justificar.
  • Em seguida, assume-se órbitas quase circulares (excentricidade pequena).
  • (c) Mostrar que o período de translação T ao quadrado é proporcional ao cubo da distância R (ou seja, provar a lei de Kepler T^{2}\propto R^{3}).
  • (d) Dados numéricos: T_{5}=165\,T_{2} e R_{2}=1\\ \text{UA}. Calcular R_{5} (distância do P5 ao Sol).

Passo 2

(a) Energia mecânica instantânea de P2. Conceitos rápidos: a energia mecânica de um corpo sob forças conservativas é a soma da energia cinética e da energia potencial. Aqui a potencial gravitacional gerada pelo Sol é
U(r) = -\frac{G\,M_{s}\,M_{2}}{r},
onde G é a constante gravitacional e r é a distância Sol–planeta. A energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}M_{2}V_{2}^{2}.
Portanto a energia mecânica total instantânea é a soma:
E = K+U = \tfrac{1}{2}M_{2}V_{2}^{2} - \frac{G\,M_{s}\,M_{2}}{R_{2}}.
Agora sobre conservação: a força gravitacional entre Sol e planeta é uma força central e conservativa — o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, logo a energia mecânica do par Sol– P2 é constante no tempo se considerarmos somente a interação gravitacional entre esses dois corpos (aproximação dois-corpos). Se houver perturbações vindas dos outros planetas do sistema (já que há 5 planetas), então essa energia do planeta considerada isoladamente pode variar levemente; em resumo: em boa aproximação (Sol dominante, interações planetárias desprezíveis) a energia é conservada ao longo da órbita.

Passo 3

(a — observação útil adicional). Uma forma útil de escrever a energia para órbitas elípticas ligadas é usando o semi-eixo maior \,a: da equação do movimento (vis-viva) resulta a identidade
E = -\frac{G\,M_{s}\,M_{2}}{2a},
que mostra que para órbitas elípticas a energia total é negativa e está ligada ao tamanho da elipse. Isso é útil na prova e para interpretar resultados na prova.

Passo 4

(b) Momento angular no periélio. Definição e conceitos: o momento angular (vetorial) de P2 em relação ao Sol é
\mathbf{L} = \mathbf{r}\times (M_{2}\mathbf{v}),
e o seu módulo é L = M_{2}\,r\,v_{\perp}, onde v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular ao raio vetor \mathbf{r}.
No periélio (ponto de maior aproximação) e no afélio a velocidade é puramente tangencial — a componente radial da velocidade é zero nesses pontos. Assim, no periélio o módulo do momento angular vale simplesmente
L = M_{2}\,R_{2,\text{periélio}}\,V_{2,\text{periélio}}.éé
Conservação: a força gravitacional é central (aponta para o Sol), logo o torque em relação ao Sol é
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F} = \mathbf{r}\times \big(-\tfrac{G M_{s} M_{2}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}\big)=\mathbf{0}.
Como o torque é zero, \mathbf{L} é constante no tempo — o momento angular total de P2 é conservado ao longo da órbita na aproximação dois-corpos. Novamente, perturbações de outros planetas podem introduzir pequenas variações, mas na aproximação usual de sistema solar isolado por pares, L é conservado. Observação física: essa conservação é a base da segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

Passo 5

(c) Período para órbitas circulares (aproximação de pequena excentricidade). Vamos montar as equações passo a passo.
  • Para órbita circular a aceleração centrípeta necessária para manter o planeta em trajetória curva é fornecida pela gravidade:
\frac{M\,V^{2}}{R} = \frac{G\,M_{s}\,M}{R^{2}},
aqui o M do planeta cancela; escrevo para um planeta genérico de massa M, mas vale para qualquer planeta do sistema. Cancelando M e rearranjando,
V^{2} = \frac{G\,M_{s}}{R}.
  • O período T é o tempo para dar uma volta completa: T = \dfrac{2\pi R}{V}. Elevando ao quadrado,
T^{2} = \frac{(2\pi R)^{2}}{V^{2}} = \frac{4\pi^{2}R^{2}}{G\,M_{s}/R} = \frac{4\pi^{2}}{G\,M_{s}}\,R^{3}.
Portanto obtemos a relação desejada:
T^{2} \propto R^{3},
mais precisamente
T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G\,M_{s}}\,R^{3},
que é a terceira lei de Kepler (a constante de proporcionalidade depende apenas da massa do Sol M_{s}, ou seja, é a mesma para todos os planetas que orbitam o mesmo Sol).

Passo 6

(d) Usar a lei T^{2}\propto R^{3} para calcular R_{5}. Escrevo a relação em forma de razões entre planetas P5 e P2:
\left(\frac{T_{5}}{T_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{R_{5}}{R_{2}}\right)^{3}.
Isolando R_{5},
R_{5} = R_{2}\left(\frac{T_{5}}{T_{2}}\right)^{2/3}.
Substituindo os dados: R_{2}=1\\ \text{UA} e \dfrac{T_{5}}{T_{2}}=165,
R_{5} = 1\\ \text{UA}\times 165^{2/3}.
Agora uma aproximação numérica razoável: calculei a raiz cúbica de 165 aproximadamente 5{,}486, e elevando ao quadrado obtemos
165^{2/3} \approx 30{,}09.
Portanto
R_{5} \approx 30{,}09\\ \text{UA}.
Interpretação: P5 está cerca de 30 vezes mais distante do Sol que P2 (que estava a 1\\ \text{UA}).

Resposta

(a) \displaystyle E=\tfrac{1}{2}M_{2}V_{2}^{2}-\frac{G\,M_{s}\,M_{2}}{R_{2}}. Conservação: sim, se considerarmos apenas a interação gravitacional Sol– P2 (força central e conservativa); com perturbações dos outros planetas a energia do planeta isoladamente pode variar levemente.
(b) \displaystyle L=M_{2}\,R_{2,\text{periélio}}\,V_{2,\text{periélio}}.éé Conservação: sim (na aproximação dois-corpos), porque o torque gravitacional em relação ao Sol é nulo (força central).
(c) \displaystyle T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G\,M_{s}}\,R^{3}, logo \,T^{2}\propto R^{3}.
(d) \displaystyle R_{5}=R_{2}\,165^{2/3}\approx 30{,}09\\ \text{UA}.

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