Duas esferas condutoras idênticas, de raio r=0,15 \mathrm{~m}, encontram-se separadas pela distância a=10 \mathrm{~m}. Qual é a carga sobre cada esfera, se o potencial de uma delas é de 1500 V e o da outra de -1500 V ?

Passo 1

O enunciado apresenta duas esferas condutoras idênticas de raio r=0,15,m, separadas por uma distância centro a centro a=10,m. As esferas atingem potenciais V_1=1500,V e V_2=-1500,V, e pede-se a carga em cada uma. Vamos usar o princípio da superposição para potencial eletrostático de condutores isolados, em que cada potencial é a soma do auto-potencial e do potencial gerado pela outra esfera.

Passo 2

Para cada esfera temos as equações
V_1 = k\,\frac{q_1}{r} \;+\; k\,\frac{q_2}{a},
V_2 = k\,\frac{q_2}{r} \;+\; k\,\frac{q_1}{a},
onde k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 9\times10^9,N· m^{2}/ C^{2}, q_1 é a carga da esfera 1 e q_2 a carga da esfera 2.

Passo 3

Observando que V_2=-V_1, notamos que uma solução simétrica é
q_2 = -\,q_1.
Isso satisfaz o sistema, pois inverte o sinal do potencial.

Passo 4

Substituindo q_2=-q_1 em V_1, obtemos
V_1 = k\,q_1\Bigl(\tfrac{1}{r} - \tfrac{1}{a}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad q_1 = \frac{V_1}{\,k\bigl(\tfrac{1}{r}-\tfrac{1}{a}\bigr)\,}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\frac{1}{r}-\frac{1}{a} = \frac{1}{0,15} - \frac{1}{10} = 6{,}6667 - 0{,}1 = 6{,}5667\\ (\text{m}^{-1}),
k\bigl(\tfrac{1}{r}-\tfrac{1}{a}\bigr) = 9\times10^{9}\times6{,}5667 \approx5{,}91\times10^{10}\\ (\text{V/C}),
q_1 = \frac{1500}{5{,}91\times10^{10}} \approx2{,}54\times10^{-8}\\ \text{C},
e então
q_2 = -\,q_1 \approx -\,2{,}54\times10^{-8}\\ \text{C}.

Resposta

q_1\approx 2{,}54\times10^{-8},C q_2\approx -\,2{,}54\times10^{-8},C

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