Duas esferas condutoras idênticas são colocadas próximas uma da outra. Uma das esferas tem carga elétrica +q, enquanto a outra tem carga +Q, onde q \ll Q. Observa-se que apesar das cargas de mesmo sinal, as duas esferas se atraem. Explique porque isso pode acontecer.

Passo 1

O enunciado diz: duas esferas condutoras idênticas, próximas uma da outra. Uma tem carga +q e a outra tem carga +Q, com +q muito menor que +Q (ou seja, q \ll Q). Observou‑se que, apesar das cargas terem o mesmo sinal, as esferas se atraem. A pergunta é: por que isso pode acontecer?
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as esferas são condutoras, são idênticas (mesma forma/tamanho) e estão próximas; cargas líquidas nas esferas são \\ +q e \\ +Q com q\ll Q. A resposta deve explicar o mecanismo físico que faz surgir atração mesmo com sinais iguais.

Passo 2

Conceitos básicos sobre condutores (essenciais para entender a situação).
  • Em equilíbrio eletrostático, todo condutor tem o campo elétrico interno igual a zero e o potencial elétrico é constante em todo o seu volume condutor.
  • As cargas livres em um condutor se rearranjam até que essas condições sejam satisfeitas; isso faz com que a carga elétrica líquida do condutor fique distribuída na superfície.
  • Quando um condutor está sujeito a um campo elétrico externo, as cargas livres se movem: cargas de sinal oposto ao campo acumulam‑se na face próxima à fonte do campo, e cargas de mesmo sinal afastam‑se para a face oposta. Esse rearranjo chama‑se indução eletrostática.
Eu sei que isso pode parecer teoria chata, mas é justamente esse rearranjo (a indução) que vai dar a resposta.

Passo 3

O que significa “indução” no caso das duas esferas? (aulas passo a passo)
  • Imagine a esfera grande com carga \\ +Q criando um campo elétrico ao seu redor. Esse campo incide sobre a esfera menor carregada +q.
  • Como a esfera menor é condutora, os elétrons livres dentro dela se deslocam: a face da esfera menor mais próxima da esfera com \\ +Q atrai elétrons (aparecem mais cargas negativas naquela face), enquanto a face oposta fica com excesso de cargas positivas.
  • O resultado é que a esfera menor fica com uma distribuição de cargas não uniforme: uma região próxima à outra esfera com carga negativa induzida e outra região mais afastada com carga positiva. A carga total da esfera menor continua sendo \\ +q (a soma das partes negativas e positivas é \\ +q), mas foi separada espacialmente.

Passo 4

Por que essa separação de cargas pode gerar atração? (uso da Lei de Coulomb para dar intuição)
  • A força elétrica entre dois pontos de carga obedece a Lei de Coulomb:
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é constante, q_1,q_2 são as cargas e r é a distância entre elas. A chave está no fator 1/r^2: cargas mais próximas interagem muito mais fortemente que cargas mais afastadas.
  • No nosso caso, a carga negativa induzida na face da esfera menor fica muito próxima da esfera com \\ +Q, enquanto a parte positiva induzida (que, somada à pequena +q, garante o total) fica mais longe. Assim, existe uma forte atração entre \\ +Q e a carga negativa induzida que está muito perto; existe também uma repulsão entre \\ +Q e as cargas positivas na face mais distante, mas essa repulsão é fraca porque essas cargas estão mais longe.
  • Como resultado, as forças não se cancelam: a atração devido à região negativa mais próxima pode superar a repulsão devido à região positiva mais afastada, e então a força total entre as esferas fica atraente.

Passo 5

Um modelo simples (toy model) para ver que isso é plausível sem contas difíceis.
  • Modele a distribuição induzida na esfera pequena como duas parcelas: uma carga negativa -q' localizada na face mais próxima (a uma distância d_1 da esfera grande) e uma carga positiva q'+q na face oposta (a uma distância d_2 da esfera grande). A soma é -q' + (q'+q) = q, como deve ser.
  • A força de atração entre \\ +Q e a carga negativa próxima vale aproximadamente
F_{\text{atr}} \approx k\frac{Q q'}{d_1^2},
e a força de repulsão entre \\ +Q e a carga positiva mais afastada vale aproximadamente
F_{\text{rep}} \approx k\frac{Q (q'+q)}{d_2^2}.
  • A força total sobre a esfera pequena (devida à esfera grande) será dirigida para atração se F_{\text{atr}}>F_{\text{rep}}, ou seja se
\frac{q'}{d_1^2} > \frac{q'+q}{d_2^2}.
Como d_1<d_2 (a carga negativa está mais perto) e q é pequeno ( q\ll Q, e tipicamente q também pode ser pequeno comparado a q' induzido), essa desigualdade pode facilmente ser satisfeita. Portanto é perfeitamente possível (e comum) que a atração vença a repulsão.
  • Nota didática: eu nao fiz uma conta de indução exata (isso exigiria resolver equações de contorno), mas o toy model deixa claro o mecanismo: proximidade compensa magnitudes.

Passo 6

Mais intuições e limites: quando isso acontece e quando não acontece
  • Esse efeito é mais pronunciado quando as esferas estão bem próximas, porque então a separação de cargas induzidas coloca cargas opostas muito perto umas das outras. Se as esferas estiverem bem separadas, a indução é mais fraca e a repulsão entre as cargas positivas líquidas prevalecerá, dando repulsão.
  • Também ajuda que q seja muito menor que Q: uma pequena carga líquida na esfera menor é facilmente “mascarada” por a redistribuição induzida; mesmo que a esfera menor tenha total positivo, a porção negativa induzida na face próxima pode ser relativamente grande (em termos de efeito sobre a força) comparada ao pequeno q longe da superfície.
  • Em termos energéticos: a configuração com cargas induzidas que aproximam cargas opostas reduz a energia eletrostática do sistema, e sistemas em equilíbrio tendem a estados de energia mais baixa — isso é consistente com uma atração efetiva.

Passo 7

Resumo final, em linguagem direta e amigável:
  • As esferas atraem porque a esfera maior com \\ +Q induz uma separação de cargas na esfera menor: cargas negativas aparecem na face mais próxima e positivas na face oposta. A carga negativa induzida fica bem perto da esfera com \\ +Q, então a atração entre elas (curta distância) pode ser mais forte que a repulsão entre \\ +Q e as cargas positivas mais distantes. Como q é muito pequeno, essa indução domina e a força resultante é de atração.

Resposta

As esferas atraem porque a grande carga \\ +Q induz uma separação de cargas na esfera com \\ +q: surge carga negativa próxima à \\ +Q e carga positiva mais afastada. A atração entre \\ +Q e a carga negativa induzida (muito próxima) pode vencer a repulsão com as cargas positivas mais distantes, especialmente quando q\ll Q e as esferas estão próximas, resultando em força líquida atrativa.

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