Duas esferas condutoras idênticas são colocadas próximas uma da outra. Uma das esferas tem carga elétrica
, enquanto a outra tem carga
, onde
. Observa-se que apesar das cargas de mesmo sinal, as duas esferas se atraem. Explique porque isso pode acontecer.
Passo 1
O enunciado diz: duas esferas condutoras idênticas, próximas uma da outra. Uma tem carga
e a outra tem carga
, com
muito menor que
(ou seja,
). Observou‑se que, apesar das cargas terem o mesmo sinal, as esferas se atraem. A pergunta é: por que isso pode acontecer?
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as esferas são condutoras, são idênticas (mesma forma/tamanho) e estão próximas; cargas líquidas nas esferas são e
com
. A resposta deve explicar o mecanismo físico que faz surgir atração mesmo com sinais iguais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as esferas são condutoras, são idênticas (mesma forma/tamanho) e estão próximas; cargas líquidas nas esferas são
Passo 2
Conceitos básicos sobre condutores (essenciais para entender a situação).
- Em equilíbrio eletrostático, todo condutor tem o campo elétrico interno igual a zero e o potencial elétrico é constante em todo o seu volume condutor.
- As cargas livres em um condutor se rearranjam até que essas condições sejam satisfeitas; isso faz com que a carga elétrica líquida do condutor fique distribuída na superfície.
- Quando um condutor está sujeito a um campo elétrico externo, as cargas livres se movem: cargas de sinal oposto ao campo acumulam‑se na face próxima à fonte do campo, e cargas de mesmo sinal afastam‑se para a face oposta. Esse rearranjo chama‑se indução eletrostática.
Eu sei que isso pode parecer teoria chata, mas é justamente esse rearranjo (a indução) que vai dar a resposta.
Passo 3
O que significa “indução” no caso das duas esferas? (aulas passo a passo)
- Imagine a esfera grande com carga
criando um campo elétrico ao seu redor. Esse campo incide sobre a esfera menor carregada . - Como a esfera menor é condutora, os elétrons livres dentro dela se deslocam: a face da esfera menor mais próxima da esfera com
atrai elétrons (aparecem mais cargas negativas naquela face), enquanto a face oposta fica com excesso de cargas positivas. - O resultado é que a esfera menor fica com uma distribuição de cargas não uniforme: uma região próxima à outra esfera com carga negativa induzida e outra região mais afastada com carga positiva. A carga total da esfera menor continua sendo
(a soma das partes negativas e positivas é ), mas foi separada espacialmente.
Passo 4
Por que essa separação de cargas pode gerar atração? (uso da Lei de Coulomb para dar intuição)
- A força elétrica entre dois pontos de carga obedece a Lei de Coulomb:
onde
é constante,
são as cargas e
é a distância entre elas. A chave está no fator
: cargas mais próximas interagem muito mais fortemente que cargas mais afastadas.
- No nosso caso, a carga negativa induzida na face da esfera menor fica muito próxima da esfera com
, enquanto a parte positiva induzida (que, somada à pequena , garante o total) fica mais longe. Assim, existe uma forte atração entre e a carga negativa induzida que está muito perto; existe também uma repulsão entre e as cargas positivas na face mais distante, mas essa repulsão é fraca porque essas cargas estão mais longe. - Como resultado, as forças não se cancelam: a atração devido à região negativa mais próxima pode superar a repulsão devido à região positiva mais afastada, e então a força total entre as esferas fica atraente.
Passo 5
Um modelo simples (toy model) para ver que isso é plausível sem contas difíceis.
- Modele a distribuição induzida na esfera pequena como duas parcelas: uma carga negativa
localizada na face mais próxima (a uma distância da esfera grande) e uma carga positiva na face oposta (a uma distância da esfera grande). A soma é , como deve ser. - A força de atração entre
e a carga negativa próxima vale aproximadamente
e a força de repulsão entre
e a carga positiva mais afastada vale aproximadamente
- A força total sobre a esfera pequena (devida à esfera grande) será dirigida para atração se
, ou seja se
Como
(a carga negativa está mais perto) e
é pequeno (
, e tipicamente
também pode ser pequeno comparado a
induzido), essa desigualdade pode facilmente ser satisfeita. Portanto é perfeitamente possível (e comum) que a atração vença a repulsão.
- Nota didática: eu nao fiz uma conta de indução exata (isso exigiria resolver equações de contorno), mas o toy model deixa claro o mecanismo: proximidade compensa magnitudes.
Passo 6
Mais intuições e limites: quando isso acontece e quando não acontece
- Esse efeito é mais pronunciado quando as esferas estão bem próximas, porque então a separação de cargas induzidas coloca cargas opostas muito perto umas das outras. Se as esferas estiverem bem separadas, a indução é mais fraca e a repulsão entre as cargas positivas líquidas prevalecerá, dando repulsão.
- Também ajuda que
seja muito menor que : uma pequena carga líquida na esfera menor é facilmente “mascarada” por a redistribuição induzida; mesmo que a esfera menor tenha total positivo, a porção negativa induzida na face próxima pode ser relativamente grande (em termos de efeito sobre a força) comparada ao pequeno longe da superfície. - Em termos energéticos: a configuração com cargas induzidas que aproximam cargas opostas reduz a energia eletrostática do sistema, e sistemas em equilíbrio tendem a estados de energia mais baixa — isso é consistente com uma atração efetiva.
Passo 7
Resumo final, em linguagem direta e amigável:
- As esferas atraem porque a esfera maior com
induz uma separação de cargas na esfera menor: cargas negativas aparecem na face mais próxima e positivas na face oposta. A carga negativa induzida fica bem perto da esfera com , então a atração entre elas (curta distância) pode ser mais forte que a repulsão entre e as cargas positivas mais distantes. Como é muito pequeno, essa indução domina e a força resultante é de atração.
Resposta
As esferas atraem porque a grande carga
induz uma separação de cargas na esfera com
: surge carga negativa próxima à
e carga positiva mais afastada. A atração entre
e a carga negativa induzida (muito próxima) pode vencer a repulsão com as cargas positivas mais distantes, especialmente quando
e as esferas estão próximas, resultando em força líquida atrativa.