Problema 7.

(a) Utilize a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro (r<R) e fora (r>R) de uma esfera maciça isolante uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga \rho.
(b) Agora para \rho(r)=k r não uniforme, \operatorname{com} \rho=0 para r>R e k uma constante, encontre as novas expressões do campo elétrico nas duas regiões.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em duas versões da distribuição de carga em uma esfera de raio R:
  • (a) Para uma esfera maciça isolante com densidade volumétrica uniforme \rho, encontrar o campo elétrico para as duas regiões: r<R (dentro da esfera) e r>R (fora da esfera). As informações dadas: densidade constante \rho, esfera de raio R.
  • (b) Para uma esfera maciça isolante cuja densidade volumétrica varia radialmente como \rho(r)=k\,r para 0\le r\le R (e \rho=0 para r>R), encontrar o campo elétrico para r<R e para r>R. As informações dadas: \rho(r)=k\,r dentro da esfera, constante k, e carga nula fora da esfera.
Tudo o que precisamos usar está no enunciado: simetria esférica, raio R, densidade \rho ou \rho(r)=k r, e que fora da esfera não há carga (no caso b explicitamente \rho=0 para r>R).

Passo 2

Breve explicação didática da ferramenta que vamos usar (lei de Gauss) e por que ela é adequada aqui.
A lei de Gauss em forma integral diz:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada \mathcal{S},
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S},
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Por que usar Gauss aqui? Porque temos uma distribuição com simetria esférica (a densidade depende só de r ou é constante). Para superfícies gaussianas esféricas concêntricas com a distribuição, o campo elétrico tem direção radial e mesmo módulo em todos os pontos da superfície; assim o fluxo simplifica para E\cdot 4\pi r^2, onde r é o raio da superfície gaussiana. Isso reduz o problema a calcular Q_{\text{int}} (a carga dentro do raio considerado) e aplicar a fórmula acima. Calma, eu mostro isso passo a passo nas partes (a) e (b).

Passo 3

Parte (a) — caso \rho uniforme: escolha da superfície gaussiana e expressão do fluxo.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r, centrada na mesma centro da esfera carregada. Pela simetria:
  • o campo elétrico em cada ponto dessa superfície é radial (ou seja, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}),
  • o módulo E(r) é o mesmo em toda a superfície.
Portanto o fluxo é
\oint_{\text{esfera de raio }r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
Agora precisamos de Q_{\text{int}}, a carga contida dentro da superfície de raio r. Vou tratar separadamente os casos r<R e r>R.

Passo 4

Parte (a) — interior (r<R): cálculo da carga interna e do campo.
Para densidade volumétrica uniforme \rho, a carga dentro de uma esfera de raio r é simplesmente densidade vezes volume da esfera de raio r. Volume da esfera de raio r é \tfrac{4}{3}\pi r^3. Então
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}.
Interpretação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r. O vetor campo aponta radialmente para fora (se \rho>0).

Passo 5

Parte (a) — exterior (r>R): carga total e campo fora da esfera.
Para r>R a superfície gaussiana inclui toda a carga da esfera. A carga total da esfera (raio R) é
Q_{\text{tot}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.
Aplicando Gauss em uma superfície de raio r>R:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{\varepsilon_0}.
Logo
E(r)=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}.
Interpretação: fora da esfera o campo é igual ao de uma carga pontual Q_{\text{tot}} situada no centro, decaindo como 1/r^2.

Passo 6

Parte (b) — estratégia geral para \rho(r)=k\,r: como calcular Q_{\text{int}}.
Agora a densidade é radialmente dependente: \rho(r')=k\,r' (uso r' como variável de integração radial para não confundir com o raio da superfície gaussiana r). Para encontrar o campo em um raio r devemos primeiro calcular a carga total contida dentro do raio r:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{V_{r}}\rho(r')\,dV.
Em coordenadas esféricas, quando a densidade depende só de r', o elemento de volume é dV=4\pi r'^2\,dr' (a integral angular dá 4\pi). Assim
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} \bigl(k r'\bigr)\cdot 4\pi r'^2\,dr' = 4\pi k \int_{0}^{r} r'^3\,dr'.
Vou executar essa integral no passo seguinte.

Passo 7

Parte (b) — cálculo explícito de Q_{\text{int}}(r) para r<R.
Calcule a integral:
\int_{0}^{r} r'^3\,dr'=\left.\frac{r'^4}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^4}{4}.
Portanto
Q_{\text{int}}(r)=4\pi k \cdot \frac{r^4}{4}=\pi k r^4.
Resumo: para r\le R temos Q_{\text{int}}(r)=\pi k r^4. Observe que a dependência com r é r^4 por causa do fator r' da densidade multiplicado por r'^2 do elemento de volume.

Passo 8

Parte (b) — campo dentro (r<R) usando Gauss.
Aplicando a lei de Gauss com a carga interna encontrada:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{\pi k r^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{k r^2}{4\varepsilon_0}.
Interpretação: dentro da esfera o campo cresce como r^2 (quando \rho\propto r). O vetor campo é radial.

Passo 9

Parte (b) — campo fora (r>R): carga total da esfera e aplicação de Gauss.
A carga total da esfera (para r>R) é a carga interna calculada em r=R:
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R)=\pi k R^4.
Aplicando Gauss para uma superfície de raio r>R:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0}=\frac{\pi k R^4}{\varepsilon_0},
logo
E(r)=\frac{\pi k R^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{k R^4}{4\varepsilon_0 r^2}.
Interpretação: fora da esfera o campo decai como 1/r^2, com a carga total sendo \pi k R^4.

Passo 10

Verificação dimensional e observações finais rápidas (didática e motivação):
  • Nas duas partes fora da esfera E(r)\propto 1/r^2, pois a superfície gaussiana vê a carga total como uma carga pontual no centro.
  • Dentro da esfera o comportamento depende da lei de densidade:
    • para \rho= constante, E\propto r;
    • para \rho\propto r, E\propto r^2.
  • As constantes numéricas \tfrac{1}{3\varepsilon_0} e \tfrac{1}{4\varepsilon_0} surgem naturalmente dos volumes/integrais que fizemos.

Resposta

(a) r<R:\;E(r)=\dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}.\n(a) r>R:\;E(r)=\dfrac{\rho\,R^3}{3\varepsilon_0\,r^2}.\n(b) r<R:\;E(r)=\dfrac{k\,r^2}{4\varepsilon_0}.\n(b) r>R:\;E(r)=\dfrac{k\,R^4}{4\varepsilon_0\,r^2}.

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