(Motai) Dois objetos eletricamente carregados estão fixos no espaço: a carga q_{1}=+8,27 \mathrm{mC} está no eixo x, em x=1,22 \mathrm{~m}, enquanto a carga q_{2}=+8,27 \mathrm{mC} está no eixo y, em y=1,22 \mathrm{~m}. Uma terceira carga, q_{3}=-5,78 \mathrm{mC}, é colocada na origem.
Qual é o módulo da força resultante que atua sobre a terceira carga, em \mathrm{kN}\left(10^{3} \mathrm{~N}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Cargas e posições:
    • q_{1}=+8,27\\ \mathrm{mC} está no eixo x em x=1,22\\ \mathrm{m}.
    • q_{2}=+8,27\\ \mathrm{mC} está no eixo y em y=1,22\\ \mathrm{m}.
    • q_{3}=-5,78\\ \mathrm{mC} está na origem (0,0).
  • O que é pedido:
    • Qual é o módulo da força resultante que atua sobre q_{3}, em \mathrm{kN} (ou seja, 10^{3}\\ \mathrm{N})?

Passo 2

Vamos resolver passo a passo. Primeiro, a ideia física e matemática que usamos: cada carga q_{1} e q_{2} exerce sobre q_{3} uma força eletrostática dada pela Lei de Coulomb. Para calcular o módulo dessa força usamos a fórmula:
F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^{2}}
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
  • q_a e q_b são as cargas em coulombs,
  • r é a distância entre as cargas em metros,
  • usamos o valor absoluto |q_a q_b| para obter o módulo da força.
Observação sobre direção: a força é atrativa quando as cargas têm sinais opostos e repulsiva quando têm o mesmo sinal. Aqui q_{3} é negativa e q_{1},q_{2} são positivas, então ambas atraem q_{3}. Como q_{1} está sobre o eixo x em x=1{,}22\\ \mathrm{m}, a força devida a q_{1} aponta para +x. De modo análogo, a força devida a q_{2} aponta para +y. Essas duas forças são perpendiculares, então a resultante tem módulo dado pelo teorema de Pitágoras.

Passo 3

Converter as cargas para coulombs (SI):
q_{1}=+8{,}27\\ \mathrm{mC}=+8{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{C}
q_{2}=+8{,}27\\ \mathrm{mC}=+8{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{C}
q_{3}=-5{,}78\\ \mathrm{mC}=-5{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{C}
As distâncias da origem até q_{1} e q_{2} são iguais a 1{,}22\\ \mathrm{m}. Logo
r=1{,}22\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=1{,}22^{2}=1{,}4884\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o módulo da força entre q_{1} e q_{3} (que será igual à força entre q_{2} e q_{3} por simetria):
Primeiro o produto das cargas (módulo):
|q_{1}q_{3}|=(8{,}27\times10^{-3})(5{,}78\times10^{-3})=47{,}8006\times10^{-6}=4{,}78006\times10^{-5}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora aplicar Coulomb:
F = k\,\frac{|q_{1}q_{3}|}{r^{2}}=8{,}99\times10^{9}\times\frac{4{,}78006\times10^{-5}}{1{,}4884}.
Calculemos em partes:
k\,|q_{1}q_{3}|=8{,}99\times10^{9}\times4{,}78006\times10^{-5}=4{,}29727\!394\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Dividindo por r^{2}:
F=\frac{4{,}29727\!394\times10^{5}}{1{,}4884}\approx2{,}88717\!68\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Portanto cada força tem módulo aproximado
F_{1}=F_{2}\approx2{,}88717\!7\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Direções das forças:
  • A força de q_{1} sobre q_{3} aponta para +x. Então seu componente é F_{x}=+F.
  • A força de q_{2} sobre q_{3} aponta para +y. Então seu componente é F_{y}=+F.
Assim os componentes da resultante são F_{x}=F e F_{y}=F com F calculado acima.

Passo 6

Calcular o módulo da força resultante usando Pitágoras (forças perpendiculares):
F_{\mathrm{res}}=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}=\sqrt{F^{2}+F^{2}}=F\sqrt{2}.
Substituindo F\approx2{,}88717\!7\times10^{5}\\ \mathrm{N}:
F_{\mathrm{res}}\approx2{,}88717\!7\times10^{5}\times\sqrt{2}\approx4{,}08315\!3\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kN} dividindo por 10^{3}:
F_{\mathrm{res}}\approx4{,}08315\!3\times10^{2}\\ \mathrm{kN}.
Arredondando com a precisão compatível com os dados (três algarismos significativos):
F_{\mathrm{res}}\approx4{,}08\times10^{2}\\ \mathrm{kN}.

Resposta

4,08\times10^{2}\\ \mathrm{kN}

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