Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutualmente com uma força eletrostática de 0,180 \mathrm{~N} quando a distância entre os centos é de 50 cm . As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quanto o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,036 \mathrm{~N}. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine:
a) A carga negativa inicial de uma das esferas.
b) A carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

O enunciado trata de duas esferas condutoras idênticas, separadas por r=0,50\\ \mathrm{m}. Inicialmente elas se atraem com força F_1=0,180\\ \mathrm{N}, o que indica cargas de sinais opostos. Depois de ligá-las por um fio, as cargas se redistribuem igualmente, e ao remover o fio elas se repelem com F_2=0,036\\ \mathrm{N}. O conteúdo necessário é a Lei de Coulomb e o fato de que esferas idênticas em curto-circuito têm carga igual.

Passo 2

Pela Lei de Coulomb, no estado inicial de atração temos
F_1 \;=\; k\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^2}
onde q_1<0, q_2>0 e |q_1q_2|=-q_1q_2. Definindo k'=k/r^2, obtemos
k'\,(-q_1q_2)=0,180.

Passo 3

Após ligá-las e nivelar as cargas, cada esfera fica com carga
Q_{\text{comum}} \;=\;\frac{q_1+q_2}{2}.
Elas se repelem com
F_2 \;=\; k\,\frac{\bigl(Q_{\text{comum}}\bigr)^2}{r^2} \;=\;k'\,\frac{(q_1+q_2)^2}{4} \;=\;0,036.

Passo 4

Seja a=-q_1>0 e b=q_2>0. Então do passo 2 vem
k'\,ab=0,180
e do passo 3
k'\,\frac{(b-a)^2}{4}=0,036.

Passo 5

Dividindo a segunda equação pela primeira:
\frac{0,036}{0,180} =\frac{(b-a)^2/4}{ab} \;\Longrightarrow\; 0,2=\frac{(b-a)^2}{4ab} \;\Longrightarrow\; (b-a)^2=0,8\,ab.
Isso leva a
b^2-2,8\,ab+a^2=0 \;\Longrightarrow\; \Bigl(\frac b a\Bigr)^2-2,8\,\frac b a+1=0
cuja raiz maior é \tfrac b a=2,38.

Passo 6

Usando k'=k/r^2=9\times10^9/0,25=3{,}6\times10^{10},
ab=\frac{0,180}{k'}=5{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2},
e como b=2,38\,a temos
a^2\,(2,38)=5{,}0\times10^{-12} \;\Longrightarrow\; a\approx1,45\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \quad b\approx2,38\,a\approx3,45\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

a) A carga negativa inicial de uma esfera é \displaystyle q_1\approx -1,45\times10^{-6}\,\mathrm{C}.
b) A carga positiva inicial da outra esfera é \displaystyle q_2\approx +3,45\times10^{-6}\,\mathrm{C}.

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