Quatro bastões carregados formam um quadrado no plano horizontal ( x y ). Cada bastão tem um comprimento L igual a 25 cm e cada um contém uma carga positiva Q uniformemente distribuida. Uma pequena esfera, que pode ser considerada como uma carga pontual de massa igual a 3,46 \times 10^{-4} \mathrm{~g} e carga \mathrm{q}= +2,45 \times 10^{-12} \mathrm{C}, está em equilibrio a uma distância \mathrm{z}=21,4 \mathrm{~cm} acima do centro do quadrado. Encontre o valor de Q.

Passo 1

O enunciado descreve quatro bastões uniformemente carregados com carga total Q cada um, dispostos nos lados de um quadrado de lado L=0,25\\ \mathrm{m}, todos no plano xy. Uma esfera de massa m=3{,}46\times10^{-4}\\ \mathrm{g}=3{,}46\times10^{-7}\\ \mathrm{kg} e carga q=2{,}45\times10^{-12}\\ \mathrm{C} está em equilíbrio eletrostático a uma altura z=0{,}214\\ \mathrm{m} sobre o centro desse quadrado. Queremos achar Q usando leis de Coulomb e simetria para obter o campo elétrico total no ponto acima do centro.

Passo 2

Definimos o semi‐lado do quadrado
a=\frac{L}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m}
e a densidade linear de carga em cada bastão
\lambda=\frac{Q}{L}.
Considere um bastão paralelo ao eixo y, a distância a do ponto (0,0,z). Um elemento de carga \lambda\,\mathrm{d}y em y produz, no ponto, um campo vertical
\mathrm{d}E_z = k\,\lambda\,\frac{z\,\mathrm{d}y}{\bigl(a^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}},
onde k=1/(4\pi\varepsilon_0). Integrando de y=-L/2 a y=+L/2 e usando
\int_{-b}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{(y^2+\alpha^2)^{3/2}} =\frac{2b}{\alpha^2\sqrt{b^2+\alpha^2}},
com \alpha^2=a^2+z^2 e b=L/2, obtemos
E_{z,\text{um bastão}} = k\,\lambda\,z\;\frac{L}{(\,a^2+z^2\,)\,\sqrt{a^2+z^2+(L/2)^2}}.ã

Passo 3

Pela simetria, os quatro bastões produzem somente componente vertical, e o campo total é
E_z^{\text{total}} =4\,E_{z,\text{um bastão}} =4k\,\lambda\,\frac{z\,L}{(\,a^2+z^2\,)\,\sqrt{a^2+z^2+(L/2)^2}}.ã
A força elétrica sobre a esfera é F_e=qE_z^{\text{total}} para cima, equilibrando o peso mg. Logo,
q\,4k\,\lambda\,\frac{z\,L}{(\,a^2+z^2\,)\,\sqrt{a^2+z^2+(L/2)^2}}=m\,g.

Passo 4

Substituindo \lambda=Q/L e isolando Q, vem
Q =\frac{m\,g\,(a^2+z^2)\,\sqrt{a^2+z^2+(L/2)^2}}{4\,k\,z\,q}.

Passo 5

Agora inserimos os valores numéricos:
a=0{,}125,\quad z=0{,}214,\quad L=0{,}25,\quad m=3{,}46\times10^{-7},\quad q=2{,}45\times10^{-12},\quad k=8{,}988\times10^9,\quad g=9{,}8.
Calculando
a^2+z^2=0{,}061421,\quad \sqrt{a^2+z^2+(L/2)^2}=0{,}2776,
Q\approx\frac{3{,}46\times10^{-7}\times9{,}8\times0{,}061421\times0{,}2776} {4\times8{,}988\times10^9\times0{,}214\times2{,}45\times10^{-12}} \approx3{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

O valor da carga em cada bastão é aproximadamente
Q=3{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

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