Uma partícula de carga \mathrm{q}_{1}=+8 \mathrm{q} está localizada na origem de um eixo horizontal, e uma partícula de carga \mathrm{q}_{2}=-2 \mathrm{q} na está na posição x=L. Em que ponto ao longo da linha que une as partículas é possível colocar uma terceira partícula de carga \mathrm{q}_{3}=+\mathrm{q} de modo que ela fique em equilíbrio?

Passo 1

Resumimos o enunciado: há duas cargas fixas ao longo do eixo x, \mathrm{q}_1=+8q em x=0 e \mathrm{q}_2=-2q em x=L. Queremos colocar \mathrm{q}_3=+q em alguma posição x de modo que a soma das forças eletrostáticas sobre \mathrm{q}_3 seja zero. Vamos usar a Lei de Coulomb, segundo a qual a força entre duas cargas q_i e q_j separadas por r vale
F = k\,\frac{q_i\,q_j}{r^2}\,.

Passo 2

Para que \mathrm{q}_3 fique em equilíbrio, as forças de \mathrm{q}_1 e de \mathrm{q}_2 devem ter mesma magnitude e sentidos opostos. Verificando as possíveis regiões:
  • Para 0<x<L, ambas as forças apontam para a direita e não se cancelam.
  • Para x<0, as forças também não se equilibram adequadamente.
    Logo, o único lugar viável é x>L.

Passo 3

Seja
x = L + d,\quad d>0.
A distância de \mathrm{q}_3 a \mathrm{q}_1 é L+d e a \mathrm{q}_2 está a d. A força de \mathrm{q}_1 sobre \mathrm{q}_3 tem magnitude
F_1 = k\,\frac{8q\cdot q}{(L + d)^2}
para a direita, e a de \mathrm{q}_2 sobre \mathrm{q}_3 vale
F_2 = k\,\frac{2q\cdot q}{d^2}
para a esquerda. No equilíbrio, exige-se
F_1 = F_2.

Passo 4

Igualando as magnitudes:
k\,\frac{8q^2}{(L + d)^2} \;=\; k\,\frac{2q^2}{d^2}
\frac{8}{(L + d)^2} = \frac{2}{d^2} \quad\Longrightarrow\quad 4\,d^2 = (L + d)^2
Extraindo raiz (e descartando solução negativa),
2d = L + d \quad\Longrightarrow\quad d = L.

Resposta

A posição de equilíbrio da carga \mathrm{q}_3 é
x = L + d = 2L,
ou seja, no ponto x=2L, à direita da carga \mathrm{q}_2.

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