Duas esferas condutoras de raios R 1 e R 2(R 1>R 2) são conectadas por um fio condutor longo. Após o equilíbrio eletrostático ser atingido, é correto afirmar que:
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Duas esferas condutoras, com raios \,R_1 e \,R_2, com \,R_1>R_2.
    • As esferas são conectadas por um fio condutor longo e atingem equilíbrio eletrostático.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar qual das alternativas A), B), C) ou D) é correta:
      • A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
      • B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
      • C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
      • D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.

Passo 2

Princípio físico essencial (explicação didática): quando condutores estão ligados por um fio em equilíbrio eletrostático, eles ficam no mesmo potencial elétrico.
  • Isso significa que, após o equilíbrio, o potencial elétrico da esfera 1 é igual ao da esfera 2:
V_1 = V_2.
  • Para uma esfera condutora isolada (ou quando seu entorno é tal que a esfera externa se comporta eletricamente como uma carga pontual), o potencial na superfície vale
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R},
onde:
  • \,Q é a carga total da esfera,
  • \,R é o raio da esfera,
  • \,\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • o fator \,\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (às vezes escrita como k).
Explanação da fórmula: fora da esfera carregada o campo se comporta como o de uma carga pontual Q localizada no centro, portanto o potencial a uma distância R (na superfície) é \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}.

Passo 3

Aplicando a condição de igualdade dos potenciais às duas esferas:
  • Escrevo os potenciais:
V_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{R_1}, \qquad V_2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_2}{R_2}.
  • Igualando V_1 e V_2:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{R_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_2}{R_2}.
  • Cancelando o fator comum resulta
\frac{Q_1}{R_1}=\frac{Q_2}{R_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_1}{R_2}.
Interpretação imediata: como \,R_1>R_2, segue que \,Q_1>Q_2. Ou seja, a esfera maior armazena mais carga total. Portanto a alternativa A (“A carga na esfera maior é menor…”) é falsa.

Passo 4

Agora vamos analisar densidade de carga superficial e campo na superfície, passo a passo.
  • Definição de densidade de carga superficial:
\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2},
onde \sigma é carga por unidade de área na superfície da esfera.
  • Usando a relação entre Q e V obtida antes (ou isolando Q da fórmula do potencial), temos:
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R} \quad\Rightarrow\quad Q=4\pi\varepsilon_0 R V.
  • Substituindo em \sigma:
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}=\frac{4\pi\varepsilon_0 R V}{4\pi R^2}=\varepsilon_0\frac{V}{R}.
Conclusão desta fórmula: para as duas esferas com o mesmo potencial V,
\sigma_1=\varepsilon_0\frac{V}{R_1}, \qquad \sigma_2=\varepsilon_0\frac{V}{R_2}.
Como \,R_1>R_2, tem-se \,\sigma_1<\sigma_2. Ou seja, a densidade de carga é maior na esfera menor. Assim a parte da alternativa C que diz “a densidade de carga é maior na esfera menor” é verdadeira, e a alternativa D (“a densidade de carga é igual em ambas”) é falsa.

Passo 5

Campo elétrico na superfície — relação e comparação:
  • O campo elétrico imediato fora da superfície de uma esfera carregada é
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}.
  • Usando Q=4\pi\varepsilon_0 R V obtemos
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{4\pi\varepsilon_0 R V}{R^2}=\frac{V}{R}.
  • Portanto
E_1=\frac{V}{R_1},\qquad E_2=\frac{V}{R_2}.
Como \,R_1>R_2, segue \,E_1<E_2. O campo é mais intenso na superfície da esfera menor. Logo a alternativa B (“O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso”) é falsa.

Passo 6

Resumo, com a intuição final:
  • Potenciais: iguais nas duas esferas (por estarem ligadas) — condição satisfeita.
  • Cargas totais: Q\propto R, então a esfera maior tem mais carga absoluta.
  • Densidade superficial: \sigma\propto 1/R, então a esfera menor tem densidade de carga maior.
  • Campo na superfície: E=\dfrac{V}{R}, também maior na esfera menor.
Isso corresponde exatamente à alternativa C: ambos têm mesmo potencial, e a densidade de carga é maior na esfera menor.

Resposta

C

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