Duas esferas condutoras de raios
e
são conectadas por um fio condutor longo. Após o equilíbrio eletrostático ser atingido, é correto afirmar que:
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Duas esferas condutoras, com raios
e , com . - As esferas são conectadas por um fio condutor longo e atingem equilíbrio eletrostático.
- Duas esferas condutoras, com raios
- O que o enunciado pede:
- Determinar qual das alternativas A), B), C) ou D) é correta:
- A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
- B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
- C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
- D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
- Determinar qual das alternativas A), B), C) ou D) é correta:
Passo 2
Princípio físico essencial (explicação didática): quando condutores estão ligados por um fio em equilíbrio eletrostático, eles ficam no mesmo potencial elétrico.
- Isso significa que, após o equilíbrio, o potencial elétrico da esfera 1 é igual ao da esfera 2:
- Para uma esfera condutora isolada (ou quando seu entorno é tal que a esfera externa se comporta eletricamente como uma carga pontual), o potencial na superfície vale
onde:
-
é a carga total da esfera, -
é o raio da esfera, -
é a permissividade do vácuo, - o fator
é a constante eletrostática (às vezes escrita como ).
Explanação da fórmula: fora da esfera carregada o campo se comporta como o de uma carga pontual
localizada no centro, portanto o potencial a uma distância
(na superfície) é
.
Passo 3
Aplicando a condição de igualdade dos potenciais às duas esferas:
- Escrevo os potenciais:
- Igualando
e :
- Cancelando o fator comum resulta
Interpretação imediata: como
, segue que
. Ou seja, a esfera maior armazena mais carga total. Portanto a alternativa A (“A carga na esfera maior é menor…”) é falsa.
Passo 4
Agora vamos analisar densidade de carga superficial e campo na superfície, passo a passo.
- Definição de densidade de carga superficial:
onde
é carga por unidade de área na superfície da esfera.
- Usando a relação entre
e obtida antes (ou isolando da fórmula do potencial), temos:
- Substituindo em
:
Conclusão desta fórmula: para as duas esferas com o mesmo potencial
,
Como
, tem-se
. Ou seja, a densidade de carga é maior na esfera menor. Assim a parte da alternativa C que diz “a densidade de carga é maior na esfera menor” é verdadeira, e a alternativa D (“a densidade de carga é igual em ambas”) é falsa.
Passo 5
Campo elétrico na superfície — relação e comparação:
- O campo elétrico imediato fora da superfície de uma esfera carregada é
- Usando
obtemos
- Portanto
Como
, segue
. O campo é mais intenso na superfície da esfera menor. Logo a alternativa B (“O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso”) é falsa.
Passo 6
Resumo, com a intuição final:
- Potenciais: iguais nas duas esferas (por estarem ligadas) — condição satisfeita.
- Cargas totais:
, então a esfera maior tem mais carga absoluta. - Densidade superficial:
, então a esfera menor tem densidade de carga maior. - Campo na superfície:
, também maior na esfera menor.
Isso corresponde exatamente à alternativa C: ambos têm mesmo potencial, e a densidade de carga é maior na esfera menor.
Resposta
C