Três capacitores idênticos de capacitância \ C $ estão ligados em série. Se um dielétrico de constanteãéé$ \mathrm{~K} $$ for inserido em apenas um deles, a nova capacitância equivalente do sistema será:
A) \mathrm{C}(\mathrm{K}+2) / 3 \mathrm{~K}
B) \mathrm{CK} /(2 \mathrm{~K}+1)
C) 3 \mathrm{CK} /(\mathrm{K}+2)
D) \mathrm{C}(\mathrm{K}+1) / 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem três capacitores idênticos, cada um com capacitância \,C\,.
  • Os três estão ligados em série.
  • Um dielétrico com constante \,K\, é inserido em apenas um dos capacitores (os outros dois permanecem com capacitância \,C\,).
    O que o enunciado pede:
  • Calcular a nova capacitância equivalente do sistema (após a inserção do dielétrico em apenas um capacitor).

Passo 2

Entendendo o efeito do dielétrico sobre um capacitor (aula rápida e simples).
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por \,C=\dfrac{\varepsilon A}{d}\,, onde:
    • \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas,
    • A é a área das placas,
    • d é a separação entre as placas.
  • Ao inserir um dielétrico de constante dielétrica \,K\, completamente entre as placas, a permissividade passa a ser \varepsilon' = K\varepsilon. Logo, a nova capacitância torna-se C' = \dfrac{\varepsilon' A}{d} = \dfrac{K\varepsilon A}{d} = K C.
  • Conclusão prática: se um capacitor de capacitância \,C\, recebe um dielétrico cheio de constante \,K, sua capacitância passa a ser \,KC.

Passo 3

Fórmula para capacitores em série (explicação didática).
  • Em uma associação em série, a carga \,Q\, em cada capacitor é a mesma (porque a mesma corrente passa por todos), e as diferenças de potencial ( V) somam-se para dar a tensão total.
  • Para dois ou mais capacitores em série valem as relações: V_\text{total}=V_1+V_2+\cdots \qquad\text{e}\qquad Q = C_i V_i \\ \text{em cada capacitor}.
  • Substituindo V_i = Q/C_i e dividindo por Q obtém-se a forma mais prática: \frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdotsonde C_\text{eq} é a capacitância equivalente da associação em série.

Passo 4

Aplicando ao caso específico (substituições claras).
  • Após inserir o dielétrico em um dos três capacitores, as capacitâncias ficam:
    • Capacitor com dielétrico: \,C_1 = K C\,.
    • Os outros dois: \,C_2 = C\, e \,C_3 = C\,.
  • Usando a fórmula da associação em série: \frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3} =\frac{1}{KC}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}.

Passo 5

Fazendo a álgebra passo a passo (para poder fazer na prova sem calculadora).
  • Primeiro coloque em fator comum \dfrac{1}{C}: \frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C}\!\left(\frac{1}{K}+1+1\right) =\frac{1}{C}\!\left(\frac{1}{K}+2\right).
  • Agora inverta para obter C_\text{eq}: C_\text{eq}=\frac{1}{\dfrac{1}{C}\!\left(\dfrac{1}{K}+2\right)} =\frac{C}{\dfrac{1}{K}+2}.
  • Simplificando a expressão do denominador: \dfrac{1}{K}+2=\dfrac{1+2K}{K},então C_\text{eq}=\frac{C}{\dfrac{1+2K}{K}}=C\cdot\frac{K}{1+2K}=\frac{CK}{1+2K}.

Passo 6

Interpretação final e checagem com as alternativas.
  • A expressão obtida é C_\text{eq}=\frac{CK}{1+2K}.
  • Reescrevendo o denominador na ordem usual: 1+2K = 2K+1, então C_\text{eq}=\frac{CK}{2K+1}.
  • Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa B.

Resposta

B) \dfrac{CK}{2K+1}

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