Duas esferas condutoras de raios R1 e R2 (R1 > R2) são conectadas por um fio condutor longo. Após o equilíbrio eletrostático ser atingido, é correto afirmar que:
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
E) A esfera menor descarrega-se completamente para a esfera maior.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • Duas esferas condutoras, com raios \,R_1 e \,R_2, e \,R_1>R_2.
  • As esferas são conectadas por um fio condutor longo e chega-se ao equilíbrio eletrostático.
  • Pede-se escolher qual das alternativas A, B, C, D ou E é correta:
    • A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
    • B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
    • C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
    • D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
    • E) A esfera menor descarrega-se completamente para a esfera maior.

Passo 2

Conceito-chave: quando condutores são conectados por fio, em equilíbrio eletrostático eles ficam ao mesmo potencial elétrico. Ou seja, o potencial da esfera 1 é igual ao potencial da esfera 2:
V_1 = V_2.
Fórmula útil (e importante saber na prova): o potencial de uma esfera condutora carregada, medida em relação ao infinito, é dado por
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R},
onde:
  • V é o potencial elétrico da esfera,
  • Q é a carga total da esfera,
  • R é o raio da esfera,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
Explicando devagar: essa fórmula vem do fato de que, fora de uma esfera condutora carregada, o campo eletrostático é igual ao de uma carga pontual Q localizada no centro; integrar o campo para obter potencial dá \,V=Q/(4\pi\varepsilon_0 R).

Passo 3

Usando V_1=V_2 e a fórmula da esfera, escrevemos:
\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1}=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2}.
Cancelando o fator comum 4\pi\varepsilon_0, obtemos a relação simples:
\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_1}{R_2}.
Isto mostra que a carga total em cada esfera é proporcional ao seu raio. Como \,R_1>R_2, segue que \,Q_1>Q_2. Portanto:
  • A alternativa A está errada (a esfera maior NÃO tem carga menor).
  • A alternativa E está errada (a esfera menor não descarrega completamente; fica com carga proporcional ao seu raio).

Passo 4

Agora vamos à densidade de carga superficial e ao campo na superfície. A densidade de carga superficial \sigma numa esfera é
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.
Substituindo Q em função de V (usando Q=4\pi\varepsilon_0 V R da fórmula do potencial), temos:
\sigma=\frac{4\pi\varepsilon_0 V R}{4\pi R^2}=\frac{\varepsilon_0 V}{R}.
Essa expressão mostra que, para o mesmo potencial V, a densidade superficial \sigma é inversamente proporcional ao raio R. Assim, a esfera menor (menor R) terá maior \sigma. Consequência:
  • A alternativa C, que afirma que o potencial é igual e a densidade de carga é maior na esfera menor, está compatível com essa conclusão.
Sobre o campo elétrico imediatamente fora da superfície: vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{V}{R}.
Isso também mostra que o campo na superfície é maior na esfera menor (onde R é menor). Assim:
  • A alternativa B (que diz que o campo na superfície da esfera maior é mais intenso) está errada.
  • A alternativa D (densidade de carga igual em ambas) também está errada.

Passo 5

Intuição física curta e amigável: quando duas esferas são ligadas, a carga se redistribui até que tenham o mesmo potencial. Como o potencial de uma esfera cresce com R para uma dada carga ( V\propto Q/R), a maior esfera “aceita” mais carga total para alcançar o mesmo V. Porém, como a área aumenta com R^2, a carga por área (densidade superficial) cai com o aumento do raio; assim a esfera menor fica com carga mais concentrada por unidade de área e campo maior na superfície.

Passo 6

Escolha fictícia para ver números: seja R_1=2R_2 e suponha que o potencial comum seja V=1 (unidade arbitrária). Então
Q_1=4\pi\varepsilon_0 V R_1=4\pi\varepsilon_0\cdot1\cdot(2R_2)=2\,(4\pi\varepsilon_0 R_2),
Q_2=4\pi\varepsilon_0 V R_2=1\,(4\pi\varepsilon_0 R_2).
Logo Q_1=2Q_2 (maior esfera tem mais carga). As densidades:
\sigma_1=\frac{\varepsilon_0 V}{R_1}=\frac{\varepsilon_0}{2R_2},\qquad \sigma_2=\frac{\varepsilon_0 V}{R_2}=\frac{\varepsilon_0}{R_2},
portanto \sigma_2=2\sigma_1: a esfera menor tem densidade duas vezes maior.

Resposta

C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.

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