Duas esferas condutoras de raios R1 e R2 (R1 > R2) são conectadas por um fio condutor longo. Após o equilíbrio eletrostático ser atingido, é correto afirmar que:
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
E) A esfera menor descarrega-se completamente para a esfera maior.
A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
E) A esfera menor descarrega-se completamente para a esfera maior.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
- Duas esferas condutoras, com raios
e , e . - As esferas são conectadas por um fio condutor longo e chega-se ao equilíbrio eletrostático.
- Pede-se escolher qual das alternativas A, B, C, D ou E é correta:
- A) A carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
- B) O campo elétrico na superfície da esfera maior é mais intenso.
- C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.
- D) A densidade de carga é igual em ambas, pois estão no mesmo potencial.
- E) A esfera menor descarrega-se completamente para a esfera maior.
Passo 2
Conceito-chave: quando condutores são conectados por fio, em equilíbrio eletrostático eles ficam ao mesmo potencial elétrico. Ou seja, o potencial da esfera 1 é igual ao potencial da esfera 2:
Fórmula útil (e importante saber na prova): o potencial de uma esfera condutora carregada, medida em relação ao infinito, é dado por
onde:
-
é o potencial elétrico da esfera, -
é a carga total da esfera, -
é o raio da esfera, -
é a permissividade do vácuo (constante).
Explicando devagar: essa fórmula vem do fato de que, fora de uma esfera condutora carregada, o campo eletrostático é igual ao de uma carga pontual
localizada no centro; integrar o campo para obter potencial dá
.
Passo 3
Usando
e a fórmula da esfera, escrevemos:
Cancelando o fator comum
, obtemos a relação simples:
Isto mostra que a carga total em cada esfera é proporcional ao seu raio. Como
, segue que
. Portanto:
- A alternativa A está errada (a esfera maior NÃO tem carga menor).
- A alternativa E está errada (a esfera menor não descarrega completamente; fica com carga proporcional ao seu raio).
Passo 4
Agora vamos à densidade de carga superficial e ao campo na superfície. A densidade de carga superficial
numa esfera é
Substituindo
em função de
(usando
da fórmula do potencial), temos:
Essa expressão mostra que, para o mesmo potencial
, a densidade superficial
é inversamente proporcional ao raio
. Assim, a esfera menor (menor
) terá maior
. Consequência:
- A alternativa C, que afirma que o potencial é igual e a densidade de carga é maior na esfera menor, está compatível com essa conclusão.
Sobre o campo elétrico imediatamente fora da superfície: vale
Isso também mostra que o campo na superfície é maior na esfera menor (onde
é menor). Assim:
- A alternativa B (que diz que o campo na superfície da esfera maior é mais intenso) está errada.
- A alternativa D (densidade de carga igual em ambas) também está errada.
Passo 5
Intuição física curta e amigável: quando duas esferas são ligadas, a carga se redistribui até que tenham o mesmo potencial. Como o potencial de uma esfera cresce com
para uma dada carga (
), a maior esfera “aceita” mais carga total para alcançar o mesmo
. Porém, como a área aumenta com
, a carga por área (densidade superficial) cai com o aumento do raio; assim a esfera menor fica com carga mais concentrada por unidade de área e campo maior na superfície.
Passo 6
Escolha fictícia para ver números: seja
e suponha que o potencial comum seja
(unidade arbitrária). Então
Logo
(maior esfera tem mais carga). As densidades:
portanto
: a esfera menor tem densidade duas vezes maior.
Resposta
C) O potencial elétrico é igual em ambas, mas a densidade de carga é maior na esfera menor.