Duas esferas condutoras, de raios RA e RB, com RB>RA, são carregadas de forma que ambas tenham a mesma densidade superficial de cargas, sigma. As esferas, inicialmente isoladas, são conectadas por um fio condutor. Determine, em função RA e RB e sigma, a carga transferida e as cargas finais em cada esfera após o equilíbrio eletrostático. Qual das esferas possuirá maior densidade superficial de cargas no equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas esferas condutoras com raios $ R_A $ e $ R_B $, sendo que $ R_B > R_A $. Ambas estão carregadas com a mesma densidade superficial de carga, $ \sigma $. Inicialmente, elas estão isoladas, mas depois são conectadas por um fio condutor. Precisamos descobrir:
  1. A carga transferida entre as esferas.
  2. As cargas finais em cada esfera após alcançarem o equilíbrio eletrostático.
  3. Qual das esferas terá maior densidade superficial de carga no equilíbrio.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a distribuição de cargas em condutores e a relação entre potencial elétrico e carga.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as cargas iniciais em cada esfera. A densidade superficial de carga $ \sigma $ está relacionada à carga $ Q $ e à área da superfície $ A $ pela fórmula:
sigma
Para uma esfera, a área da superfície é $ A = 4\pi R^2 $. Assim, as cargas iniciais são:
Q
A

Passo 3

Quando as esferas são conectadas por um fio condutor, as cargas podem se mover entre elas até que ambas tenham o mesmo potencial elétrico. O potencial $ V $ de uma esfera condutora é dado por:
V
Para que os potenciais sejam iguais no equilíbrio:
V = Q4pivarepsilon0 R
Isso nos dá uma relação entre as cargas finais:
QA^finalRA = QB^finalRB

Passo 4

Sabemos também que a carga total é conservada durante o processo de transferência:
QA^inicial + QB^inicial = QA^final + QB^final
Substituindo $ Q_A^{final} $ da relação anterior:
QA^final
Fatorando $ Q_B^{final} $:
RARB QB^final + QB^final = QA^inicial + QB^inicial
Resolvendo para $ Q_B^{final} $:
QB^final

Passo 5

Agora, substituímos $ Q_A^{inicial} $ e $ Q_B^{inicial} $ pelas expressões em termos de $ \sigma $, $ R_A $ e $ R_B $:
QA^inicial
E para $ Q_A^{final} $:
QB^inicial

Passo 6

A carga transferida pode ser calculada como a diferença entre a carga final de uma esfera e sua carga inicial. Vamos calcular a carga transferida para a esfera B:
De
Fatorando $ \sigma 4\pi R_B $:
sigma 4pi RB
De
= sigma 4pi RB ( RA^2 + RB^2 - RA RB - RB^2RA + RB ) = sigma 4pi RB ( RA^2 - RA RBRA + RB )

Passo 7

Finalmente, para determinar qual das esferas terá maior densidade superficial de carga no equilíbrio, observamos as cargas finais:
sigmaA^final = QA^final4pi RA^2 = sigma (RA^2 + RB^2)RA + RB
sigmaB^final = QB^final4pi RB^2 = sigma (RA^2 + RB^2)RA + RB
Comparando com o raio maior $ R_B > R_A $, percebemos que, apesar das densidades aparentes serem iguais nas expressões, devido ao maior raio, a esfera com $ R_B $ distribui a carga em uma área maior, resultando em uma densidade superficial menor. Portanto, a esfera com raio menor $ R_A $ terá uma maior densidade superficial de carga no equilíbrio.

Resposta

A carga transferida é dada por $ \Delta Q = \frac{\sigma 4\pi R_A R_B (R_A - R_B)}{R_A + R_B} $. Após o equilíbrio eletrostático, as cargas finais são $ Q_A^{final} = \frac{\sigma 4\pi R_A (R_A^2 + R_B^2)}{R_A + R_B} $ na esfera A e $ Q_B^{final} = \frac{\sigma 4\pi R_B (R_A^2 + R_B^2)}{R_A + R_B} $ na esfera B. No equilíbrio, a esfera A possui maior densidade superficial de carga.

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