Duas esferas condutoras, de raios
e
,
, são carregadas de forma que ambas tenham a mesma densidade superficial de cargas,
. As esferas, inicialmente isoladas, são conectadas por um fio condutor. Determine, em função
e
e
, a carga transferida e as cargas finais em cada esfera após o equilíbrio eletrostático. Qual das esferas possuirá maior densidade superficial de cargas no equilíbrio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas esferas condutoras com raios $ R_A $ e $ R_B $, sendo que $ R_B > R_A $. Ambas estão carregadas com a mesma densidade superficial de carga, $ \sigma $. Inicialmente, elas estão isoladas, mas depois são conectadas por um fio condutor. Precisamos descobrir:
- A carga transferida entre as esferas.
- As cargas finais em cada esfera após alcançarem o equilíbrio eletrostático.
- Qual das esferas terá maior densidade superficial de carga no equilíbrio.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a distribuição de cargas em condutores e a relação entre potencial elétrico e carga.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as cargas iniciais em cada esfera. A densidade superficial de carga $ \sigma $ está relacionada à carga $ Q $ e à área da superfície $ A $ pela fórmula:
Para uma esfera, a área da superfície é $ A = 4\pi R^2 $. Assim, as cargas iniciais são:
Passo 3
Quando as esferas são conectadas por um fio condutor, as cargas podem se mover entre elas até que ambas tenham o mesmo potencial elétrico. O potencial $ V $ de uma esfera condutora é dado por:
Para que os potenciais sejam iguais no equilíbrio:
Isso nos dá uma relação entre as cargas finais:
Passo 4
Sabemos também que a carga total é conservada durante o processo de transferência:
Substituindo $ Q_A^{final} $ da relação anterior:
Fatorando $ Q_B^{final} $:
Resolvendo para $ Q_B^{final} $:
Passo 5
Agora, substituímos $ Q_A^{inicial} $ e $ Q_B^{inicial} $ pelas expressões em termos de $ \sigma $, $ R_A $ e $ R_B $:
E para $ Q_A^{final} $:
Passo 6
A carga transferida pode ser calculada como a diferença entre a carga final de uma esfera e sua carga inicial. Vamos calcular a carga transferida para a esfera B:
Fatorando $ \sigma 4\pi R_B $:
Passo 7
Finalmente, para determinar qual das esferas terá maior densidade superficial de carga no equilíbrio, observamos as cargas finais:
Comparando com o raio maior $ R_B > R_A $, percebemos que, apesar das densidades aparentes serem iguais nas expressões, devido ao maior raio, a esfera com $ R_B $ distribui a carga em uma área maior, resultando em uma densidade superficial menor. Portanto, a esfera com raio menor $ R_A $ terá uma maior densidade superficial de carga no equilíbrio.
Resposta
A carga transferida é dada por $ \Delta Q = \frac{\sigma 4\pi R_A R_B (R_A - R_B)}{R_A + R_B} $. Após o equilíbrio eletrostático, as cargas finais são $ Q_A^{final} = \frac{\sigma 4\pi R_A (R_A^2 + R_B^2)}{R_A + R_B} $ na esfera A e $ Q_B^{final} = \frac{\sigma 4\pi R_B (R_A^2 + R_B^2)}{R_A + R_B} $ na esfera B. No equilíbrio, a esfera A possui maior densidade superficial de carga.