Duas esferas idênticas e perfeitamente condutoras estão carregadas de carga
e
, respectivamente, e deparadas de um distância
. As duas são postas em contato elétrico e novamente separadas da mesma distância
. Compare a força de Coulomb da situação inicial com a da situação final. A força aumentou ou diminuiu?
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Duas esferas idênticas, condutoras, inicialmente carregadas com cargas
e . - As esferas estão separadas por uma distância
. - As esferas são postas em contato elétrico (tocam-se), permitindo troca de carga, e depois são separadas de novo mantendo a mesma distância
.
O que se pede:
- Comparar a força de Coulomb na situação inicial com a da situação final: a força aumentou ou diminuiu?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As esferas são idênticas (mesma geometria), então ao tocar elas ficarão com cargas iguais (devido à simetria/igualdade de potencial).
- A carga total é conservada durante o contato: a soma das cargas antes e depois é a mesma.
Passo 2
Entender como as cargas se rearranjam ao pôr as esferas em contato.
Conservação de carga: a carga total antes do contato é
. Como não há fuga de carga para fora do sistema, essa soma permanece a mesma após o contato.
Como as esferas são idênticas e condutoras, ao entrarem em contato as cargas se repartem igualmente entre elas (porque, em equilíbrio electrostático, as duas têm o mesmo potencial e, sendo idênticas, isso implica cargas iguais). Logo, a carga em cada esfera depois do contato é
(Isto vem de conservar carga e usar a simetria: duas cargas iguais somam
.)
Passo 3
Relembrar a lei de Coulomb e o significado das variáveis usadas.
A força eletrostática entre duas cargas puntiformes (ou duas esferas pequenas separadas por distância grande em relação ao raio) é dada por
onde:
-
é a força (com sinal: indica repulsão, indica atração), -
é a constante eletrostática, -
são as cargas das duas esferas, -
é a distância entre os centros das esferas.
Observação sobre o sinal: o produto
determina se a força é repulsiva (
) ou atrativa (
).
Passo 4
Calcular a força inicial
.
Antes do contato as cargas são
e
, portanto
Passo 5
Calcular a força final
.
Depois do contato cada esfera tem
. Então a força entre elas, após separá-las de volta para a mesma distância
, é
Passo 6
Comparar
com
por meio de álgebra.
Calcule a diferença:
Desenvolvendo o parêntese:
Portanto
Como
é sempre não-negativo, temos
. Assim, a força algébrica (isto é, levando em conta o sinal) sempre aumenta ou permanece igual.
Passo 7
Interpretação física e casos particulares (importante para saber “aumentou” no sentido prático).
-
Resultado geral:
. Em termos algébricos, a força depois do contato é sempre maior ou igual à força antes (isto é, ). -
Sinal da força final: como
depende de um quadrado, é sempre não-negativo — isto é, a força final nunca é atrativa; ela é repulsiva ( ) se e nula ( ) se .
Casos concretos para intuição:
- Se
e têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas), a força inicial era repulsiva e a força final é repulsiva e maior em módulo: a repulsão aumentou. - Ex.:
: , (aumentou).
- Ex.:
- Se
e têm sinais opostos, a força inicial era atrativa ( ). Após contato as esferas adquirem o mesmo sinal ( ), então a força final é zero ou repulsiva. Nesse caso a força algébrica aumentou (pois passou de um valor negativo para um valor menos negativo, zero ou positivo), mas o módulo (intensidade) da força pode aumentar ou diminuir dependendo das magnitudes relativas de e . - Ex.:
→ (atração); (força diminui em módulo até zero). - Ex.:
→ (pequena atração); (repulsão relativamente maior): módulo aumentou.
- Ex.:
Portanto, responder só “aumentou” ou “diminuíu” sem especificar se se refere ao sinal ou ao módulo pode levar a confusão. A conclusão correta e geral é que a força algébrica aumenta; quanto ao módulo, depende do sinal relativo e das magnitudes iniciais.
Resposta
A força algébrica aumentou:
.
Se e
têm o mesmo sinal, a repulsão (módulo da força) aumentou.
Se têm sinais opostos, a força deixa de ser atrativa (pode diminuir em módulo até zero ou tornar-se repulsiva, dependendo das magnitudes).
Se
Se têm sinais opostos, a força deixa de ser atrativa (pode diminuir em módulo até zero ou tornar-se repulsiva, dependendo das magnitudes).