Duas esferas idênticas e perfeitamente condutoras estão carregadas de carga q e Q, respectivamente, e deparadas de um distância d. As duas são postas em contato elétrico e novamente separadas da mesma distância d. Compare a força de Coulomb da situação inicial com a da situação final. A força aumentou ou diminuiu?

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Duas esferas idênticas, condutoras, inicialmente carregadas com cargas q e Q.
  • As esferas estão separadas por uma distância d.
  • As esferas são postas em contato elétrico (tocam-se), permitindo troca de carga, e depois são separadas de novo mantendo a mesma distância d.
O que se pede:
  • Comparar a força de Coulomb na situação inicial com a da situação final: a força aumentou ou diminuiu?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As esferas são idênticas (mesma geometria), então ao tocar elas ficarão com cargas iguais (devido à simetria/igualdade de potencial).
  • A carga total é conservada durante o contato: a soma das cargas antes e depois é a mesma.

Passo 2

Entender como as cargas se rearranjam ao pôr as esferas em contato.
Conservação de carga: a carga total antes do contato é q+Q. Como não há fuga de carga para fora do sistema, essa soma permanece a mesma após o contato.
Como as esferas são idênticas e condutoras, ao entrarem em contato as cargas se repartem igualmente entre elas (porque, em equilíbrio electrostático, as duas têm o mesmo potencial e, sendo idênticas, isso implica cargas iguais). Logo, a carga em cada esfera depois do contato é
q' = \frac{q+Q}{2}.
(Isto vem de conservar carga e usar a simetria: duas cargas iguais somam 2q' = q+Q.)

Passo 3

Relembrar a lei de Coulomb e o significado das variáveis usadas.
A força eletrostática entre duas cargas puntiformes (ou duas esferas pequenas separadas por distância grande em relação ao raio) é dada por
F = k\,\frac{q_1 q_2}{d^2},
onde:
  • F é a força (com sinal: F>0 indica repulsão, F<0 indica atração),
  • k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática,
  • q_1,q_2 são as cargas das duas esferas,
  • d é a distância entre os centros das esferas.
Observação sobre o sinal: o produto q_1 q_2 determina se a força é repulsiva ( q_1 q_2>0) ou atrativa ( q_1 q_2<0).

Passo 4

Calcular a força inicial F_i.
Antes do contato as cargas são q e Q, portanto
F_i = k\,\frac{qQ}{d^2}.

Passo 5

Calcular a força final F_f.
Depois do contato cada esfera tem q'=\dfrac{q+Q}{2}. Então a força entre elas, após separá-las de volta para a mesma distância d, é
F_f = k\,\frac{q'\,q'}{d^2} = k\,\frac{\left(\dfrac{q+Q}{2}\right)^2}{d^2} = k\,\frac{(q+Q)^2}{4\,d^2}.

Passo 6

Comparar F_f com F_i por meio de álgebra.
Calcule a diferença:
F_f - F_i = k\,\frac{(q+Q)^2}{4d^2} - k\,\frac{qQ}{d^2} = k\,\frac{1}{d^2}\!\left(\frac{(q+Q)^2}{4} - qQ\right).
Desenvolvendo o parêntese:
\frac{(q+Q)^2}{4} - qQ = \frac{q^2 + 2qQ + Q^2 - 4qQ}{4} = \frac{q^2 - 2qQ + Q^2}{4} = \frac{(q-Q)^2}{4}.
Portanto
F_f - F_i = k\,\frac{(q-Q)^2}{4d^2} \ge 0.
Como (q-Q)^2 é sempre não-negativo, temos F_f - F_i \ge 0. Assim, a força algébrica (isto é, levando em conta o sinal) sempre aumenta ou permanece igual.

Passo 7

Interpretação física e casos particulares (importante para saber “aumentou” no sentido prático).
  • Resultado geral: F_f \ge F_i. Em termos algébricos, a força depois do contato é sempre maior ou igual à força antes (isto é, F_f - F_i = k (q-Q)^2/(4d^2)\ge0).
  • Sinal da força final: como F_f = k (q+Q)^2/(4d^2) depende de um quadrado, F_f é sempre não-negativo — isto é, a força final nunca é atrativa; ela é repulsiva ( F_f>0) se q+Q\neq0 e nula ( F_f=0) se q+Q=0.
Casos concretos para intuição:
  1. Se q e Q têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas), a força inicial era repulsiva e a força final é repulsiva e maior em módulo: a repulsão aumentou.
    • Ex.: q=2,\\ Q=1: F_i = k\cdot 2/d^2, F_f = k\cdot 9/(4d^2)=2{,}25\,k/d^2 (aumentou).
  2. Se q e Q têm sinais opostos, a força inicial era atrativa ( F_i<0). Após contato as esferas adquirem o mesmo sinal ( \operatorname{sgn}(q+Q)), então a força final é zero ou repulsiva. Nesse caso a força algébrica aumentou (pois passou de um valor negativo para um valor menos negativo, zero ou positivo), mas o módulo (intensidade) da força pode aumentar ou diminuir dependendo das magnitudes relativas de q e Q.
    • Ex.: q=1,\\ Q=-1 F_i=-k/d^2 (atração); F_f=0 (força diminui em módulo até zero).
    • Ex.: q=1,\\ Q=-0{,}01 F_i=-0{,}01\,k/d^2 (pequena atração); F_f\approx 0{,}245\,k/d^2 (repulsão relativamente maior): módulo aumentou.
Portanto, responder só “aumentou” ou “diminuíu” sem especificar se se refere ao sinal ou ao módulo pode levar a confusão. A conclusão correta e geral é que a força algébrica aumenta; quanto ao módulo, depende do sinal relativo e das magnitudes iniciais.

Resposta

A força algébrica aumentou: \displaystyle F_f-F_i = k\,\dfrac{(q-Q)^2}{4d^2}\ge0.
Se q e Q têm o mesmo sinal, a repulsão (módulo da força) aumentou.
Se têm sinais opostos, a força deixa de ser atrativa (pode diminuir em módulo até zero ou tornar-se repulsiva, dependendo das magnitudes).

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