Três cargas de mesma magnitude estão nos vértices de um triângulo equilátero. Duas nos vértices da base são positivas e iguais q. A do terceiro vértice é negativa e igual à -q. Sendo a o lado do triângulo, obtenha a força de Coulomb sobre a carga negativa, em módulo, direção e sentido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado:
  • Três cargas puntuais com mesma magnitude absoluta q.
  • Duas cargas positivas q estão nos vértices da base do triângulo equilátero.
  • A carga no vértice superior (oposto à base) é negativa e igual a -q.
  • O lado do triângulo equilátero vale a.
O que se pede:
  • Obter a força de Coulomb sobre a carga negativa em módulo.
  • Indicar a direção dessa força.
  • Indicar o sentido da força (para onde ela aponta).

Passo 2

Escolher um sistema de referência para facilitar os cálculos (coordenadas):
  • Coloco o triângulo com a base horizontal e centrada na origem.
  • Assim, as coordenadas das cargas são:
    • Carga negativa -q no vértice superior: (0,h).
    • Cargas positivas q nos vértices da base: \bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
  • Para um triângulo equilátero a altura h em função do lado a vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Expliquei: a altura forma dois triângulos retângulos de catetos \tfrac{a}{2} e h e hipotenusa a; pelo teorema de Pitágoras h=\sqrt{a^{2}-\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\tfrac{a^{2}}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a.

Passo 3

Recordando a lei de Coulomb (explicando bem): a força eletrostática entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r tem módulo
F=\frac{k\,|q_1 q_2|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática. A direção é ao longo da linha que une as cargas; o sentido é atrativo se os sinais forem opostos e repulsivo se iguais.
No nosso caso a distância entre a carga -q (no vértice superior) e qualquer uma das cargas q da base é exatamente o lado do triângulo, isto é r=a. Portanto o módulo da força que cada carga positiva exerce sobre a carga negativa é
F_{\text{cada}}=\frac{k\,q^{2}}{a^{2}}.
Como os sinais são opostos, cada uma dessas forças aponta da carga negativa para a respectiva carga positiva (atração).

Passo 4

Decomposição vetorial de uma das forças (explicando passo a passo):
  • Considere a força exercida pela carga em \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) sobre a carga em (0,h). O vetor que vai da carga negativa para essa positiva tem componentes \bigl(\tfrac{a}{2},-h\bigr).
  • O comprimento desse vetor é a, logo as componentes unitárias (projeções) são \tfrac{a/2}{a}=\tfrac{1}{2} na direção horizontal e \tfrac{-h}{a} na direção vertical.
  • Assim as componentes da força \vec F_{1} (da carga direita sobre a negativa) são
    • componente horizontal: F_{1x}=F_{\text{cada}}\cdot\frac{1}{2} para a direita,
    • componente vertical: F_{1y}=F_{\text{cada}}\cdot\frac{-h}{a} (negativa significa para baixo).
  • Para a carga esquerda, pela simetria, a força \vec F_{2} terá componente horizontal igual em módulo mas para a esquerda, e mesma componente vertical para baixo:
    • F_{2x}=-F_{\text{cada}}\cdot\frac{1}{2},
    • F_{2y}=F_{\text{cada}}\cdot\frac{-h}{a}.

Passo 5

Somando as componentes (resultante):
  • As componentes horizontais se cancelam:
F_{x,\text{total}}=F_{1x}+F_{2x}=F_{\text{cada}}\left(\tfrac{1}{2}\right)+F_{\text{cada}}\left(-\tfrac{1}{2}\right)=0.
  • As componentes verticais se somam (as duas apontam para baixo):
F_{y,\text{total}}=F_{1y}+F_{2y}=2\left(-F_{\text{cada}}\cdot\frac{h}{a}\right)=-2F_{\text{cada}}\frac{h}{a}.
Substituindo F_{\text{cada}}=\dfrac{kq^{2}}{a^{2}} e h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a, temos
F_{y,\text{total}}=-2\left(\frac{kq^{2}}{a^{2}}\right)\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} =-2\left(\frac{kq^{2}}{a^{2}}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{a}{a} =-\frac{\sqrt{3}\,kq^{2}}{a^{2}}.
O sinal negativo indica direção para baixo (se adotarmos o eixo y positivo para cima). Portanto o módulo da força resultante é
\bigl|\vec F_{\text{resultante}}\bigr|=\frac{\sqrt{3}\,kq^{2}}{a^{2}}.

Passo 6

Interpretação física final (direção e sentido):
  • Direção: ao longo da altura do triângulo (linha que liga o vértice superior ao ponto médio da base).
  • Sentido: para baixo, ou seja, apontando do vértice superior em direção ao ponto médio da base (atração para as cargas positivas da base).
  • Em forma vetorial, se o eixo y for para cima, a força é
\vec F=-\frac{\sqrt{3}\,kq^{2}}{a^{2}}\,\hat{y}.

Resposta

Módulo: \dfrac{\sqrt{3}\,kq^{2}}{a^{2}}
Direção: ao longo da altura do triângulo (eixo que une o vértice superior ao ponto médio da base)
Sentido: para baixo, isto é, do vértice superior em direção ao ponto médio da base (atração pelas cargas positivas)

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