Três cargas de mesma magnitude estão nos vértices de um triângulo equilátero. Duas nos vértices da base são positivas e iguais q. A do terceiro vértice é negativa e igual à -q. Sendo a o lado do triângulo, obtenha a força de Coulomb sobre a carga negativa, em módulo, direção e sentido.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado:
Três cargas puntuais com mesma magnitude absoluta q.
Duas cargas positivas q estão nos vértices da base do triângulo equilátero.
A carga no vértice superior (oposto à base) é negativa e igual a -q.
O lado do triângulo equilátero vale a.
O que se pede:
Obter a força de Coulomb sobre a carga negativa em módulo.
Indicar a direção dessa força.
Indicar o sentido da força (para onde ela aponta).
Passo 2
Escolher um sistema de referência para facilitar os cálculos (coordenadas):
Coloco o triângulo com a base horizontal e centrada na origem.
Assim, as coordenadas das cargas são:
Carga negativa -q no vértice superior: (0,h).
Cargas positivas q nos vértices da base: \bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
Para um triângulo equilátero a altura h em função do lado a vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Expliquei: a altura forma dois triângulos retângulos de catetos \tfrac{a}{2} e h e hipotenusa a; pelo teorema de Pitágoras h=\sqrt{a^{2}-\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\tfrac{a^{2}}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a.
Passo 3
Recordando a lei de Coulomb (explicando bem): a força eletrostática entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r tem módulo
F=\frac{k\,|q_1 q_2|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática. A direção é ao longo da linha que une as cargas; o sentido é atrativo se os sinais forem opostos e repulsivo se iguais.
No nosso caso a distância entre a carga -q (no vértice superior) e qualquer uma das cargas q da base é exatamente o lado do triângulo, isto é r=a. Portanto o módulo da força que cada carga positiva exerce sobre a carga negativa é
F_{\text{cada}}=\frac{k\,q^{2}}{a^{2}}.
Como os sinais são opostos, cada uma dessas forças aponta da carga negativa para a respectiva carga positiva (atração).
Passo 4
Decomposição vetorial de uma das forças (explicando passo a passo):
Considere a força exercida pela carga em \bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) sobre a carga em (0,h). O vetor que vai da carga negativa para essa positiva tem componentes \bigl(\tfrac{a}{2},-h\bigr).
O comprimento desse vetor é a, logo as componentes unitárias (projeções) são \tfrac{a/2}{a}=\tfrac{1}{2} na direção horizontal e \tfrac{-h}{a} na direção vertical.
Assim as componentes da força \vec F_{1} (da carga direita sobre a negativa) são
componente horizontal: F_{1x}=F_{\text{cada}}\cdot\frac{1}{2} para a direita,
componente vertical: F_{1y}=F_{\text{cada}}\cdot\frac{-h}{a} (negativa significa para baixo).
Para a carga esquerda, pela simetria, a força \vec F_{2} terá componente horizontal igual em módulo mas para a esquerda, e mesma componente vertical para baixo: